O centro de uma elipse é a origem. O eixo maior é vertical e mede o dobro do comprimento do eixo menor. Sabendo que a elipse passa pelo ponto P=(raiz72, 3), determinar sua equação reduzida.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma elipse de centro na origem, com eixo maior vertical (logo a>b) e que seu comprimento 2a é o dobro do comprimento do eixo menor 2b. A equação reduzida de uma elipse com eixo maior vertical é
x^2b^2+y^2a^2=1

Passo 2

Como o eixo maior mede o dobro do menor, temos
2a = 2,(2b)Longrightarrow a=2b,
logo
a^2 = 4b^2
Substituindo em x^2b^2+y^2a^2=1 fica
x^2b^2+y^24b^2=1

Passo 3

A elipse passa por P=l(tfracraiz72,3r), então
l(tfracraiz72r)^2b^2 + 3^24b^2 = 1 Longrightarrow tfrac74b^2 + 94b^2 = 1 Longrightarrow 7+94b^2 = 1 Longrightarrow 4b^2 = 16
portanto
b^2 = 4

Passo 4

Como a^2=4b^2, temos
a^2 = 4cdot 4 = 16
Logo a equação reduzida da elipse é

Resposta

x^24 + y^216 = 1

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