O centro de uma elipse é o ponto C=(-4,2), um foco é F_{1}=(-4,-1) e um vértice, A_{1}=(-4,-2). Encontre a equação da elipse.
Resolução : temos que a=\operatorname{dist}\left(C, A_{1}\right)=4 e c=\operatorname{dist}\left(C, F_{1}\right)=3. Assim, a^{2}=
b^{2}+c^{2} \Longrightarrow b^{2}=16-9=7 \Longrightarrow b=\sqrt{7}.
Uma elipse com as características citadas tem equação da forma: \frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1. Substituindo os valores de a e b e usando as coordenadas do centro, temos: \frac{(x+4)^{2}}{7}+
\frac{(y-2)^{2}}{16}=1.

Passo 1

O enunciado dá o centro C=(-4,2), um foco F_{1}=(-4,-1) e um vértice A_{1}=(-4,-2) de uma elipse. O conteúdo aqui é geometria de elipse, em que usamos a relação entre semi-eixos e foco:
c^{2} = a^{2} - b^{2}.

Passo 2

Calculamos o semieixo maior a como a distância entre o centro e o vértice:
a = \mathrm{dist}(C,A_{1}) = \sqrt{(-4-(-4))^{2} + (2-(-2))^{2}} = \sqrt{0 + 4^{2}} = 4.
O valor c é a distância entre o centro e o foco:
c = \mathrm{dist}(C,F_{1}) = \sqrt{(-4-(-4))^{2} + (2-(-1))^{2}} = \sqrt{0 + 3^{2}} = 3.

Passo 3

Usando \,c^{2} = a^{2} - b^{2}, temos
b^{2} = a^{2} - c^{2} = 4^{2} - 3^{2} = 16 - 9 = 7,
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b = \sqrt{7}.

Passo 4

Como vértice e foco têm todas as abscissas iguais x=-4, o eixo maior é vertical. A forma padrão é
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} = 1.

Passo 5

Substituindo h=-4, k=2, b^{2}=7 e a^{2}=16, obtemos
\frac{(x+4)^{2}}{7} + \frac{(y-2)^{2}}{16} = 1.

Resposta

\frac{(x+4)^{2}}{7} + \frac{(y-2)^{2}}{16} = 1

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