Dada a equação x^{2}+4 y^{2}-8 y-12=0, encontre a equação reduzida correspondente. Identifique a cônica trabalhada. Encontre as coordenadas de seus focos, vértices e centro.
Resolução: Completando quadrados, temos:
x^{2}+4 y^{2}-8 y-12=0 \Longrightarrow x^{2}+4\left(y^{2}-2 y\right)-12=0 \Longrightarrow x^{2}+4\left(y^{2}-2 y+1-1\right)-12=0
\Longrightarrow x^{2}+4(y-1)^{2}-4-12=0 \Longrightarrow x^{2}+4(y-1)^{2}=16 \Longrightarrow \frac{x^{2}}{16}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1
Equação reduzida: \frac{x^{2}}{16}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1.
Assim, temos:
Centro C=(0,1).
a^{2}=16 \quad b^{2}=4 \quad a^{2}=b^{2}+c^{2} \Longrightarrow c^{2}=a^{2}-b^{2}=16-4=12 \longrightarrow c=2 \sqrt{3}.
Vértices: A_{1}=(0-4,1)=(-4,0) \quad A_{2}=(0+4,1)
B_{1}=(0,1+2)=(0,3) \quad B_{2}=(0,1-2)=(0,-1).
Focos: F_{1}=(0-2 \sqrt{3}, 1)=(-2 \sqrt{3}, 1) \quad F_{2}=(0+2 \sqrt{3}, 1)=(2 \sqrt{3}, 1).

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2} + 4y^{2} - 8y - 12 = 0
e pede a forma reduzida, a identificação da cônica e as coordenadas do seu centro, vértices e focos. Vamos usar o método de completar quadrados para colocar em forma padrão de elipse.

Passo 2

Agrupamos os termos em y e isolamos constantes:
x^{2} + 4\bigl(y^{2} - 2y\bigr) - 12 = 0.
Dentro do parêntese, completamos o quadrado:
y^{2} - 2y = \bigl(y - 1\bigr)^{2} - 1.
Logo,
x^{2} + 4\bigl[(y - 1)^{2} - 1\bigr] - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 4(y-1)^{2} - 4 - 12 = 0.

Passo 3

Reorganizando, obtemos
x^{2} + 4(y-1)^{2} = 16
e dividindo ambos os lados por 16:
\frac{x^{2}}{16} + \frac{(y-1)^{2}}{4} = 1.
Esta é a equação reduzida de uma elipse.

Passo 4

Comparando com
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1,
vemos que o centro é (h,k) = (0,1), a^{2}=16 e b^{2}=4. Como a>b, o eixo maior é horizontal.

Passo 5

Calculamos o foco usando
c^{2} = a^{2} - b^{2} = 16 - 4 = 12 \quad\Longrightarrow\quad c = 2\sqrt{3}.

Passo 6

Os vértices no eixo maior (horizontal) são
V_{1} = (h - a,\,k) = (-4,\,1), \quad V_{2} = (h + a,\,k) = (4,\,1).
No eixo menor (vertical) os “vértices menores” são
W_{1} = (h,\,k - b) = (0,\,-1), \quad W_{2} = (h,\,k + b) = (0,\,3).

Passo 7

Os focos ficam sobre o eixo maior, a distância c do centro:
F_{1} = (h - c,\,k) = \bigl(-2\sqrt{3},\,1\bigr), \quad F_{2} = (h + c,\,k) = \bigl(2\sqrt{3},\,1\bigr).

Resposta

Equação reduzida:
\frac{x^{2}}{16} + \frac{(y-1)^{2}}{4} = 1.
Cônica: elipse com eixo maior horizontal.
Centro: (0,1).
Vértices maiores: (-4,1) e (4,1).
Vértices menores: (0,-1) e (0,3).
Focos: \bigl(-2\sqrt{3},1\bigr) e \bigl(2\sqrt{3},1\bigr).

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