Dada a equação
, encontre a equação reduzida correspondente. Identifique a cônica trabalhada. Encontre as coordenadas de seus focos, vértices e centro.
Resolução: Completando quadrados, temos:
Equação reduzida:
.
Assim, temos:
Centro
.
.
Vértices:
.
Focos:
.
Equação reduzida:
Assim, temos:
Centro
Vértices:
Focos:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a forma reduzida, a identificação da cônica e as coordenadas do seu centro, vértices e focos. Vamos usar o método de completar quadrados para colocar em forma padrão de elipse.
Passo 2
Agrupamos os termos em
e isolamos constantes:
Dentro do parêntese, completamos o quadrado:
Logo,
Passo 3
Reorganizando, obtemos
e dividindo ambos os lados por
:
Esta é a equação reduzida de uma elipse.
Passo 4
Comparando com
vemos que o centro é
,
e
. Como
, o eixo maior é horizontal.
Passo 5
Calculamos o foco usando
Passo 6
Os vértices no eixo maior (horizontal) são
No eixo menor (vertical) os “vértices menores” são
Passo 7
Os focos ficam sobre o eixo maior, a distância
do centro:
Resposta
Equação reduzida:
Cônica: elipse com eixo maior horizontal.
Centro: .
Vértices maiores: e
.
Vértices menores: e
.
Focos: e
.
Centro:
Vértices maiores:
Vértices menores:
Focos: