Encontre a equação reduzida da hipérbole de vértices
e
e excentricidade
.
Resolução: Como o centro é o ponto médio dos vértices, temos
. Assim,
. Usando que
, temos:
, de onde vem que
. Agora, usando que
e
, obtemos que
. Pela posição dos vértices, (sobre uma reta vertical), a equação dessa hipérbole é da forma:
, ou seja:
.
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida de uma hipérbole cujos vértices são
e
e cuja excentricidade é
. Vamos usar conceitos de geometria analítica de cônicas: centro como ponto médio dos vértices, definição de parâmetro
(semi-eixo real), relação entre excentricidade
, distância focal
e
, e a fórmula
.
Passo 2
O centro
é o ponto médio de
e
, logo
Cada vértice está a uma distância
do centro, ou seja,
Passo 3
A excentricidade de uma hipérbole é definida por
onde
é a distância do centro a cada foco. Como
e
, temos
Passo 4
Na hipérbole vale a relação
portanto
Passo 5
Os vértices estão sobre a reta vertical
, logo o eixo transverso é vertical. A forma reduzida da hipérbole com eixo vertical é
Passo 6
Substituindo
e
na forma padrão, obtemos