Encontre a equação reduzida da hipérbole de vértices (0,-4) e (0,4) e excentricidade \frac{3}{2}.
Resolução: Como o centro é o ponto médio dos vértices, temos C=(0,0). Assim, a=\operatorname{dist}\left(A_{1}, C\right)=4. Usando que \frac{c}{a}=e=\frac{3}{2}, temos: \frac{c}{4}=\frac{3}{2}, de onde vem que c=6. Agora, usando que c^{2}=a^{2}+b^{2}, c=6 e a=4, obtemos que b^{2}=20. Pela posição dos vértices, (sobre uma reta vertical), a equação dessa hipérbole é da forma: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1, ou seja: \frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{20}=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma hipérbole cujos vértices são (0,-4) e (0,4) e cuja excentricidade é e=\tfrac{3}{2}. Vamos usar conceitos de geometria analítica de cônicas: centro como ponto médio dos vértices, definição de parâmetro a (semi-eixo real), relação entre excentricidade e, distância focal c e a, e a fórmula c^{2}=a^{2}+b^{2}.

Passo 2

O centro C é o ponto médio de (0,-4) e (0,4), logo
C = \bigl(0,\tfrac{-4+4}{2}\bigr) = (0,0).
Cada vértice está a uma distância a do centro, ou seja,
a = \operatorname{dist}\bigl((0,4),(0,0)\bigr) = 4.

Passo 3

A excentricidade de uma hipérbole é definida por
e = \frac{c}{a},
onde c é a distância do centro a cada foco. Como e=\tfrac{3}{2} e a=4, temos
\frac{c}{4} = \frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad c = 4\cdot\frac{3}{2} = 6.

Passo 4

Na hipérbole vale a relação
c^{2} = a^{2} + b^{2},
portanto
b^{2} = c^{2} - a^{2} = 6^{2} - 4^{2} = 36 - 16 = 20.

Passo 5

Os vértices estão sobre a reta vertical x=0, logo o eixo transverso é vertical. A forma reduzida da hipérbole com eixo vertical é
\frac{y^{2}}{a^{2}} \;-\;\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1.

Passo 6

Substituindo a^{2}=16 e b^{2}=20 na forma padrão, obtemos
\frac{y^{2}}{16} \;-\;\frac{x^{2}}{20} = 1.

Resposta

\frac{y^{2}}{16} \;-\;\frac{x^{2}}{20} = 1.

Exercícios relacionados