Dois condutores retilíneos, paralelos, muito longos, percorridos por correntes de intensidades iguais a I=9,0 \mathrm{~A} e 3 I=27 estão situados no plano x y e separados por uma distância 2 a=6,0 \mathrm{~cm}.
Determine: a força elétrica por unidade de comprimento entre os fios.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Corrente do primeiro fio: I_1 = I = 9,0\\ \mathrm{A}.
  • Corrente do segundo fio: I_2 = 3I = 27\\ \mathrm{A}.
  • Separação entre os fios: 2a = 6,0\\ \mathrm{cm}.
  • Pedido: determinar a força por unidade de comprimento entre os fios (ou seja, a força magnética por unidade de comprimento f entre dois fios retilíneos paralelos, muito longos).

Passo 2

Qual a fórmula que vamos usar e por que ela vale? Vou explicar passo a passo, sem pular etapas.
  • Campo magnético criado por um fio retilíneo e muito longo: pela lei de Biot–Savart (ou pelo resultado de Ampère para simetria cilíndrica), o módulo do campo magnético a uma distância r de um fio que conduz corrente I é
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Aqui:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2}.
  • I é a corrente no fio que cria o campo.
  • r é a distância perpendicular do fio até o ponto onde se calcula o campo.
Explicação rápida e intuitiva: corrente cria linhas circulares de campo ao redor do fio; o fator 1/r aparece porque a densidade das linhas diminui com a distância.

Passo 3

Força sobre o outro fio (intuição e fórmula):
  • Uma segunda corrente I_2 colocada no campo B sofre uma força dada pela lei da força magnética sobre um elemento de fio: \mathrm{d}\vec F = I_2\,\mathrm{d}\vec\ell\times\vec B.
  • Para fios longos e paralelos, a força por unidade de comprimento (módulo) é simplesmente
f=\frac{F}{\ell}=I_2\,B(d),
onde d é a distância entre os fios e B(d) é o campo produzido pelo primeiro fio no local do segundo.
  • Substituindo B(d) da etapa anterior:
f=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}.
Explicando as variáveis:
  • f é a força por unidade de comprimento (unidade \mathrm{N/m}).
  • I_1 e I_2 são as correntes dos dois fios.
  • d é a distância entre os eixos dos fios.
  • Sinal e direção: se as correntes tiverem o mesmo sentido, a força é atrativa; se tiverem sentidos opostos, é repulsiva. Aqui vamos calcular o módulo f.

Passo 4

Agora aplicando os números passo a passo (faço todas as conversões com calma):
  • Distância entre fios: 2a = 6,0\\ \mathrm{cm} = 0,060\\ \mathrm{m}. Ou seja, d=0,060\\ \mathrm{m}.
  • Correntes: I_1=9,0\\ \mathrm{A}, I_2=27\\ \mathrm{A}.
  • Escrevendo a expressão:
f=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}.
  • Calculo do fator \dfrac{\mu_0}{2\pi}:
\frac{\mu_0}{2\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2}.
  • Produto das correntes:
I_1 I_2 = 9,0\times27 = 243\\ \mathrm{A^2}.
  • Agora o numerador:
\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\right) I_1 I_2 = 2\times10^{-7}\times243 = 4{,}86\times10^{-5}\\ \mathrm{N/m}.
(Detalhe: 2\times243=486, logo 486\times10^{-7}=4{,}86\times10^{-5}.)
  • Dividindo pela distância d=0,060\\ \mathrm{m}:
f=\frac{4{,}86\times10^{-5}}{0{,}060} = 8{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{N/m}.
Verificação rápida de ordem de grandeza: correntes moderadas e distância pequena geram força por unidade de comprimento da ordem 10^{-4}\\ \mathrm{N/m}, o que é razoável.

Passo 5

Interpretação final e observação prática:
  • Módulo da força por unidade de comprimento: f=8{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{N/m}.
  • Direção: se as correntes tiverem sentidos iguais, a interação é atrativa; se tiverem sentidos opostos, é repulsiva.
  • Comentário de ânimo: é muita conta escrita, mas a receita é sempre a mesma: campo do fio longo B=\mu_0 I/(2\pi r) e depois força por unidade f=I_2 B. Guarda essa fórmula que cai direto na prova — e você já conseguiu!

Resposta

8{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{N/m} (atrativa se as correntes tiverem o mesmo sentido; repulsiva se tiverem sentidos opostos)

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