Um sistema amortecido com um grau de liberdade tem uma massa
, uma rigidez de mola
e um amortecedor com c
. Uma função forçante
cuja magnitude é indicada na tabela abaixo, age sobre a massa durante 1 segundo. Determine a resposta do sistema.
Tempo
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
4,0
0,5
7,0
0,6
11,0
0,7
13,0
0,8
15,0
0,9
12,0
1,0
8,0
| Tempo
|
|
| 0,0 |
|
| 0,1 |
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| 0,2 |
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| 0,3 |
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| 0,4 | 4,0 |
| 0,5 | 7,0 |
| 0,6 | 11,0 |
| 0,7 | 13,0 |
| 0,8 | 15,0 |
| 0,9 | 12,0 |
| 1,0 | 8,0 |
Passo 1
O enunciado dá um sistema de um grau de liberdade amortecido com os parâmetros e a força amostrada a seguir (peguei estes números da tabela do enunciado):
- massa:
. - rigidez:
. - amortecimento viscoso:
. - Força
conhecida em passos de durante . Os valores são (tempo, força): -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
-
O enunciado pede: determinar a resposta do sistema. Vou interpretar isso como obter a história temporal do deslocamento
para
. Não foi dada nenhuma condição inicial; adoto a hipótese usual (quando nada é especificado) de condições iniciais nulas:
Passo 2
Breve explicação da teoria necessária (sem pular etapas).
- A equação do movimento do sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma força externa
é
Aqui
é a aceleração,
é a velocidade e
é o deslocamento.
- Para condições iniciais nulas, a resposta forçada pode ser obtida pela integral de convolução (fórmula de Duhamel). A resposta
é a convolução da força com a resposta ao impulso unitário do sistema :
Essa fórmula significa: a saída é a soma (integral) das contribuições infinitesimais da força passada, ponderadas pela resposta do sistema quando um impulso é aplicado com atraso
.
- Para um sistema subamortecido (
), a resposta ao impulso é conhecida e tem a forma
onde:
-
é a frequência natural não amortecida (rad/s); -
é o coeficiente de amortecimento adimensional; -
é a frequência amortecida (rad/s).
Dou um exemplo concreto curto: se
fosse um pulso muito curto (impulso), a saída seria exatamente
. Para uma força qualquer, somamos escalas temporais de
multiplicadas por
.
Passo 3
Calcular os parâmetros do sistema com os números dados e explicar cada passo.
- Frequência natural:
- Coeficiente de amortecimento:
Comentário:
é pequeno (amortecimento leve), então o sistema é subamortecido.
- Frequência amortecida:
Passo 4
Escrever explicitamente a resposta ao impulso
usando os valores numéricos e explicar cada termo.
- A constante multiplicativa que aparece em
é . Calculamos:
- O termo de decaimento exponencial tem coeficiente
. - Portanto, a resposta ao impulso é
Explicação do que cada fator faz:
-
reduz a amplitude ao longo do tempo por causa do amortecimento; -
introduz a oscilação com frequência amortecida; -
é apenas uma escala que vem de dividir pelo produto .
Passo 5
Como a força está dada em amostras de
, vamos aproximar a integral de convolução por uma soma discreta (regra do retângulo à esquerda). Método e justificativa:
- A integral contínua
será aproximada por
onde
,
e
. Essa é a regra do retângulo usando o valor da força no início de cada subintervalo. É simples, estável e suficientemente precisa quando
é pequeno (aqui
s e
rad/s — resolução razoável para um exemplo de prova).
- Comentário didático: poderia usar aproximação trapezoidal ou polinomial para maior precisão, mas a regra do retângulo esquerdo é mais simples para fazer passo a passo em prova sem calculadora complexa; fornece uma boa idéia do comportamento.
Passo 6
Preparar os valores de
necessários. Como a soma exige valores de
em defasagens
que são múltiplos de
, calculamos
para
.
- Fórmula usada para cada
:
- Valores numéricos (arredondados para 5 casas significativas) obtidos a partir da expressão acima:
Breve comentário: sinais negativos aparecem porque a senóide passa por negativos; o fator exponencial reduz a amplitude aos instantes maiores.
Passo 7
Aplicar a soma discreta para calcular
nos instantes amostrados
. A regra é
com
. Vou mostrar o cálculo intervalo a intervalo (cada contribuição é
). Os produtos foram calculados numericamente e então somados.
Cálculos (armazenando resultados com 5 casas significativas):
-
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
:
Observação didática: cada termo
representa a contribuição para
da força aplicada no subintervalo que começa em
. Como a força muda de sinal no tempo, as contribuições podem somar ou cancelar, e o amortecimento faz com que contribuições antigas tenham menos efeito.
Passo 8
Interpretação rápida dos resultados (útil na prova):
- Começando em
, a resposta inicialmente é negativa porque os primeiros valores de força são negativos grandes ( ). Depois, conforme a força muda de sinal e se torna positiva, as contribuições positivas acumulam e o deslocamento passa para valores positivos. - O amortecimento leve (
) permite oscilações, mas dentro de 1 segundo o termo exponencial ainda não reduziu muito as contribuições iniciais (decai com ). - A solução numérica apresentada dá uma boa aproximação da história do deslocamento nos instantes amostrados. Para maior precisão em prova poderia-se usar o mesmo procedimento com passo menor ou regra trapezoidal.