O centro de massa de um tetraedro T de vértices não-coplanares A, B, C e D é o ponto G no espaço tal que
P G=P A+P B+P C+P D4
para algum ponto P no espaço. Assim como seu análogo no plano, é possível mostrar que o centro de massa G independe da escolha do ponto P, o que implica em
G A+G B+G C+G D=0
e que, dado um sistema de coordenadas cartesianas O X Y Z no espaço, se A=(a1, a2, a3), B= (b1, b2, b3), C=(c1, c2, c3) e D=(d1, d2, d3) então
G=(a1+b1+c1+d14, a2+b2+c2+d24, a3+b3+c3+d34)
a) Sejam A^prime, B^prime, C^prime e D^prime os baricentros das faces opostas aos vértices A, B, C e D, respectivamente. Mostre que o centro de massa do tetraedro T^prime de vértices A^prime, B^prime, C^prime e D^prime coincide com o centro de massa do tetraedro T.
b) Mostre que G é a interseção dos segmentos A A^prime, B B^prime, C C^prime, D D^prime ao obter as relações
A G=34 A A^prime, B G=34 B B^prime, C G=34 C C^prime e D G=34 D D^prime

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o centro de massa de um tetraedro! A matéria aqui envolve geometria espacial e vetores. Vamos precisar entender como calcular o centro de massa (ou centroide) de um tetraedro e como trabalhar com vetores para provar as propriedades pedidas nas partes a) e b) do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o centro de massa de um tetraedro. É um ponto no espaço que representa o “equilíbrio” do tetraedro. A fórmula dada no enunciado diz que o centro de massa G é a média das coordenadas dos vértices A, B, C e D :
G = ( a1+b1+c1+d14, a2+b2+c2+d24, a3+b3+c3+d34 )
Isso significa que cada coordenada de G é a média das coordenadas correspondentes dos vértices.

Passo 3

Agora, vamos para a parte a) do exercício. Precisamos mostrar que o centro de massa do tetraedro T' , formado pelos baricentros das faces opostas aos vértices A, B, C e D , é o mesmo que o centro de massa G do tetraedro original T .
Primeiro, vamos entender o que são os baricentros. O baricentro de uma face de um tetraedro é o ponto onde as medianas dessa face se encontram, ou seja, a média das coordenadas dos três vértices que formam essa face.

Passo 4

Vamos nomear os baricentros das faces opostas:
  • A' é o baricentro da face BCD
  • B' é o baricentro da face ACD
  • C' é o baricentro da face ABD
  • D' é o baricentro da face ABC
Usando a mesma fórmula do centro de massa, temos:
A' = ( b1+c1+d13, b2+c2+d23, b3+c3+d33 )
E analogamente para B', C', D' .

Passo 5

Agora, vamos calcular o centro de massa do tetraedro :
Substituindo as coordenadas de :

Passo 6

Simplificando :
O mesmo vale para as coordenadas e . Portanto:

Passo 7

Agora, na parte b), precisamos mostrar que G é a interseção dos segmentos AA', BB', CC', DD' e que:
AG = 34 AA', BG = 34 BB', CG = 34 CC', DG = 34 DD'

Passo 8

Vamos começar entendendo o que significa AG = 34 AA' . Isso indica que o ponto G está localizado a três quartos do caminho de A até A' .
Como já sabemos que G é o centro de massa, vamos usar a propriedade de que G é a média dos vértices e dos baricentros das faces opostas.

Passo 9

Sabemos que:
G = A + B + C + D4
E também que:
A' = B + C + D3
Portanto, podemos expressar G em termos de A e A' :
G = A + 3A'4 = A + 34(A' - A) = A + 34AA'
Dessa forma:
AG = 34AA'

Passo 10

De maneira semelhante, podemos fazer o mesmo para B, C e D :
G = B + 3B'4 Rightarrow BG = 34BB'
G = C + 3C'4 Rightarrow CG = 34CC'
G = D + 3D'4 Rightarrow DG = 34DD'

Resposta

a) O centro de massa do tetraedro T' formado pelos baricentros das faces opostas coincide com o centro de massa G do tetraedro original T .
b) O ponto G é a interseção dos segmentos AA', BB', CC', DD' e satisfaz as relações:
AG = 34AA', BG = 34BB', CG = 34CC', DG = 34DD'

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