Considere a seguinte matriz de mudança de base [I]beta^prime^beta=[ccc1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1]. Determine
[v]beta, onde [v]beta^prime=[c-1 2 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de mudança de base, que basicamente ajuda a converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Aqui, queremos encontrar as coordenadas de v na base beta , sabendo que em beta' é -1 2 3 . Vamos precisar lembrar como usar a matriz de mudança de base para fazer essa conversão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz, [I]beta'^beta , transforma as coordenadas de um vetor da base beta' para a base beta . Ou seja, se a gente tem as coordenadas de v em beta' , multiplicando pela matriz de mudança, a gente obtém as coordenadas em beta .

Passo 3

Vamos anotar a matriz de mudança de base que foi dada:
[I]beta'^beta = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1
E também o vetor v nas coordenadas de beta' :
[v]beta' = -1 2 3

Passo 4

Agora, para encontrar [v]beta , a gente vai multiplicar a matriz de mudança de base pelo vetor [v]beta' :
[v]beta = [I]beta'^beta cdot [v]beta'
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 5

Vamos multiplicar linha por coluna:
Primeira linha:
1 times (-1) + 1 times 2 + 0 times 3 = -1 + 2 + 0 = 1
Segunda linha:
0 times (-1) + (-1) times 2 + 1 times 3 = 0 - 2 + 3 = 1
Terceira linha:
1 times (-1) + 0 times 2 + (-1) times 3 = -1 + 0 - 3 = -4

Resposta

Então, as coordenadas de v na base beta são:
[v]beta = 1 1 -4

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