Sejam um triângulo, o seu baricentro e e suas medianas. Mostre que:

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo triângulos. O enunciado nos pede para mostrar que o vetor do vértice até o baricentro ( G) é dois terços do vetor da mediana correspondente. Para isso, vamos precisar entender o que é um baricentro, o que são medianas e como trabalhar com vetores em geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma mediana em um triângulo. A mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. No nosso triângulo ABC, temos as medianas AX, BY e CZ, onde X, Y e Z são os pontos médios dos lados BC, AC e AB, respectivamente.

Passo 3

O baricentro, também conhecido como centro de gravidade, é o ponto onde as três medianas se intersectam. Uma propriedade importante do baricentro é que ele divide cada mediana em duas partes, sendo que a parte que vai do vértice até o baricentro é duas vezes maior que a parte que vai do baricentro até o ponto médio do lado.

Passo 4

Vamos representar esses segmentos com vetores. Por exemplo, AX representa a mediana que vai de A até X. Segundo a propriedade do baricentro, AG deve ser dois terços de AX. Ou seja:
AG = 23 AX
Fazendo o mesmo para as outras medianas, temos:
BG = 23 BY e CG = 23 CZ

Passo 5

Para provar isso, podemos usar coordenadas vetoriais. Vamos considerar que as coordenadas dos vértices A, B e C são A, B e C, respectivamente. O ponto médio X do lado BC tem coordenadas:
X = B + C2
A mediana AX é então:
AX = X - A = B + C2 - A = -2A + B + C2

Passo 6

Sabemos que o baricentro G é dado por:
G = A + B + C3
Então, o vetor AG é:
AG = G - A = A + B + C3 - A = -2A + B + C3

Passo 7

Comparando AG com AX:
AG = -2A + B + C3 = 23 cdot ( -2A + B + C2 ) = 23 AX
Portanto, mostramos que AG = 23 AX. Fazendo o mesmo para as outras medianas, temos as mesmas relações para BG e CG.

Resposta

Demonstramos que AG = 23 AX, BG = 23 BY e CG = 23 CZ.

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