Seja T um tetraedro de vértices A, B, C e D, M o ponto médio da aresta A C e N o ponto médio da aresta oposta B D. Mostre, usando coordenadas, que o ponto médio G do segmento M N é o centro de massa do tetraedro T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria envolvendo um tetraedro. O enunciado pede para mostrar, usando coordenadas, que o ponto médio G do segmento MN é o centro de massa do tetraedro T . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como atribuir coordenadas aos vértices e calcular os pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos atribuir coordenadas aos vértices do tetraedro T . Vamos simplificar escolhendo A na origem:
A = (0, 0, 0)
Para facilitar os cálculos, vamos escolher:
B = (1, 0, 0), C = (0, 1, 0), D = (0, 0, 1)

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos médios M e N .
O ponto M é o ponto médio da aresta AC :
M = ( 0 + 02, 0 + 12, 0 + 02 ) = (0, 12, 0)
O ponto N é o ponto médio da aresta BD :
N = ( 1 + 02, 0 + 02, 0 + 12 ) = (12, 0, 12)

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar as coordenadas do ponto médio G do segmento MN :
G = ( 0 + 122, 12 + 02, 0 + 122 ) = (14, 14, 14)

Passo 5

Agora, precisamos calcular o centro de massa (centroide) do tetraedro T . Para isso, basta fazer a média das coordenadas dos quatro vértices:
Centroide = ( 0 + 1 + 0 + 04, 0 + 0 + 1 + 04, 0 + 0 + 0 + 14 ) = ( 14, 14, 14 )

Resposta

Concluímos que o ponto médio G do segmento MN tem coordenadas (14, 14, 14) , que coincide exatamente com o centro de massa do tetraedro T . Portanto, G é de fato o centro de massa do tetraedro.

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