Seja
um tetraedro de vértices
e
o ponto médio da aresta
e
o ponto médio da aresta oposta
. Mostre, usando coordenadas, que o ponto médio
do segmento
é o centro de massa do tetraedro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de geometria envolvendo um tetraedro. O enunciado pede para mostrar, usando coordenadas, que o ponto médio
do segmento
é o centro de massa do tetraedro
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como atribuir coordenadas aos vértices e calcular os pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos atribuir coordenadas aos vértices do tetraedro
. Vamos simplificar escolhendo
na origem:
Para facilitar os cálculos, vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos médios
e
.
O ponto
é o ponto médio da aresta
:
O ponto
é o ponto médio da aresta
:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar as coordenadas do ponto médio
do segmento
:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o centro de massa (centroide) do tetraedro
. Para isso, basta fazer a média das coordenadas dos quatro vértices:
Resposta
Concluímos que o ponto médio
do segmento
tem coordenadas
, que coincide exatamente com o centro de massa do tetraedro
. Portanto,
é de fato o centro de massa do tetraedro.