Em um centro de testes, a coordenação decide o mix de
(horas de bancada eletrônica) e
(horas de câmara climática). As preferências são homotéticas e, em particular, podem ser representadas por Cobb-Douglas com parâmetros
, resultando em demandas Marshall
(a) Calcule a elasticidade-renda da demanda
.
(b) Mostre que as curvas de Engel são linhas retas que partem da origem.
(c) Explique a normalidade dos bens e relacione com homoteticidade.
(d) Esboce graficamente as curvas de Engel para
e
.
(b) Mostre que as curvas de Engel são linhas retas que partem da origem.
(c) Explique a normalidade dos bens e relacione com homoteticidade.
(d) Esboce graficamente as curvas de Engel para
Passo 1
O enunciado dá a demanda Marshalliana para os dois bens
e
:
com
e
.
As perguntas são:
(a) calcular a elasticidade-renda da demanda ;
(b) mostrar que as curvas de Engel são retas que partem da origem;
(c) explicar por que os bens são normais e relacionar isso com homoteticidade;
(d) esboçar graficamente as curvas de Engel para e
.
As perguntas são:
(a) calcular a elasticidade-renda da demanda
(b) mostrar que as curvas de Engel são retas que partem da origem;
(c) explicar por que os bens são normais e relacionar isso com homoteticidade;
(d) esboçar graficamente as curvas de Engel para
Passo 2
Primeiro eu defino o que é elasticidade-renda da demanda. A elasticidade-renda de
mede a variação percentual de
ante uma variação percentual da renda
. A fórmula prática é
Aqui:
-
é a derivada parcial da demanda em relação à renda ; - o fator
transforma a derivada absoluta numa elasticidade (variação percentual).
Vou aplicar essa fórmula à demanda dada.
Passo 3
Calcule a derivada de
em relação a
. Como
temos
Substituindo na fórmula da elasticidade:
Agora simplifico o quociente dentro do produto:
. Então
Passo 4
Conclusão do item (a): para ambos os bens
vale
Interpretação rápida: uma variação percentual qualquer da renda causa exatamente a mesma variação percentual na quantidade demandada (resposta unitária).
Passo 5
Agora mostro as curvas de Engel (item b). A curva de Engel relaciona a renda
com a quantidade demandada
mantendo os preços fixos. Da expressão da demanda já temos diretamente
em função de
:
Esta é a equação de uma reta passando pela origem (quando
,
) com coeficiente angular (inclinação)
. Portanto as curvas de Engel são retas que partem da origem.
Passo 6
Explico a normalidade e a relação com homoteticidade (item c).
- Definição prática: um bem é normal se a sua demanda aumenta quando a renda aumenta, isto é, se
. - Aqui encontramos
, logo ambos os bens são normais: quando a renda sobe, a quantidade demandada de cada bem sobe proporcionalmente.
Relação com homoteticidade: preferências homotéticas têm a propriedade de que, ao multiplicar todos os consumos por um fator comum, as curvas de indiferença apenas se “esticam” sem mudar a taxa marginal de substituição relativa (MRS depende apenas da razão dos bens). Uma consequência importante é que, para preferencias homotéticas, as demandas Marshallianas são lineares em
:
. Isso implica elasticidade-renda igual para todos os níveis de renda e igual a
para cada componente — ou mais intuitivamente, as cartas de indiferença são rayos homotéticos e a expansão de renda segue esses raios. O Cobb–Douglas é um caso homotético, por isso obtemos elasticidade renda unitária e Engel linear.
Passo 7
Esboço gráfico das curvas de Engel (item d). Dicas para desenhar no exame:
- Escolha o eixo horizontal para a renda
(com ) e o eixo vertical para . - Para cada
desenhe a reta que passa pela origem com inclinação . Ou seja:
- A inclinação maior significa que, para a mesma variação de renda, o consumo aumenta mais. Se
então a reta de é mais íngreme que a de . Ambas são retas passando pela origem, nunca curvadas, e não se cruzam exceto em (a não ser que as inclinações sejam iguais, caso em que coincidem).
Um esboço rápido mental: duas retas saindo de
, uma mais inclinada (bem com maior
) e outra menos inclinada.
Resposta
(a)
para
.\n
(b) As curvas de Engel são , retas que partem da origem.\n
(c) Ambos os bens são normais ( ); a homoteticidade (Cobb–Douglas é homotético) implica demandas proporcionais à renda e elasticidade-renda constante igual a
.\n
(d) Duas retas através da origem em um gráfico versus
, com inclinações
e
(a mais inclinada corresponde ao maior
).
(b) As curvas de Engel são
(c) Ambos os bens são normais (
(d) Duas retas através da origem em um gráfico