Em um centro de testes, a coordenação decide o mix de x_{1} (horas de bancada eletrônica) e x_{2} (horas de câmara climática). As preferências são homotéticas e, em particular, podem ser representadas por Cobb-Douglas com parâmetros \alpha_{1}, \alpha_{2}>0, \alpha_{1}+\alpha_{2}=1, resultando em demandas Marshall
x_{i}^{M}(p, m)=\frac{\alpha_{i} m}{p_{i}}, \quad i \in\{1,2\}
(a) Calcule a elasticidade-renda da demanda \varepsilon_{m}^{x_{i}}.
(b) Mostre que as curvas de Engel são linhas retas que partem da origem.
(c) Explique a normalidade dos bens e relacione com homoteticidade.
(d) Esboce graficamente as curvas de Engel para x_{1} e x_{2}.

Passo 1

O enunciado dá a demanda Marshalliana para os dois bens x_{1} e x_{2}:
x_{i}^{M}(p,m)=\frac{\alpha_{i} m}{p_{i}},\quad i\in\{1,2\},
com \alpha_{1},\alpha_{2}>0 e \alpha_{1}+\alpha_{2}=1.
As perguntas são:
(a) calcular a elasticidade-renda da demanda \varepsilon_{m}^{x_{i}};
(b) mostrar que as curvas de Engel são retas que partem da origem;
(c) explicar por que os bens são normais e relacionar isso com homoteticidade;
(d) esboçar graficamente as curvas de Engel para x_{1} e x_{2}.

Passo 2

Primeiro eu defino o que é elasticidade-renda da demanda. A elasticidade-renda de x_{i} mede a variação percentual de x_{i} ante uma variação percentual da renda m. A fórmula prática é
\varepsilon_{m}^{x_{i}}=\frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial m}\cdot\frac{m}{x_{i}^{M}}.
Aqui:
  • \partial x_{i}^{M}/\partial m é a derivada parcial da demanda em relação à renda m;
  • o fator m/x_{i}^{M} transforma a derivada absoluta numa elasticidade (variação percentual).
Vou aplicar essa fórmula à demanda dada.

Passo 3

Calcule a derivada de x_{i}^{M} em relação a m. Como
x_{i}^{M}(p,m)=\frac{\alpha_{i} m}{p_{i}},
temos
\frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial m}=\frac{\alpha_{i}}{p_{i}}.
Substituindo na fórmula da elasticidade:
\varepsilon_{m}^{x_{i}}=\left(\frac{\alpha_{i}}{p_{i}}\right)\cdot\frac{m}{\dfrac{\alpha_{i} m}{p_{i}}}.
Agora simplifico o quociente dentro do produto: \dfrac{m}{\alpha_{i} m / p_{i}}=\dfrac{m}{1}\cdot\dfrac{p_{i}}{\alpha_{i} m}=\dfrac{p_{i}}{\alpha_{i}}. Então
\varepsilon_{m}^{x_{i}}=\frac{\alpha_{i}}{p_{i}}\cdot\frac{p_{i}}{\alpha_{i}}=1.

Passo 4

Conclusão do item (a): para ambos os bens i=1,2 vale
\varepsilon_{m}^{x_{i}}=1.
Interpretação rápida: uma variação percentual qualquer da renda causa exatamente a mesma variação percentual na quantidade demandada (resposta unitária).

Passo 5

Agora mostro as curvas de Engel (item b). A curva de Engel relaciona a renda m com a quantidade demandada x_{i} mantendo os preços fixos. Da expressão da demanda já temos diretamente x_{i} em função de m:
x_{i}=\frac{\alpha_{i}}{p_{i}}\,m.
Esta é a equação de uma reta passando pela origem (quando m=0, x_{i}=0) com coeficiente angular (inclinação) \dfrac{\alpha_{i}}{p_{i}}. Portanto as curvas de Engel são retas que partem da origem.

Passo 6

Explico a normalidade e a relação com homoteticidade (item c).
  • Definição prática: um bem é normal se a sua demanda aumenta quando a renda aumenta, isto é, se \varepsilon_{m}^{x_{i}}>0.
  • Aqui encontramos \varepsilon_{m}^{x_{i}}=1>0, logo ambos os bens são normais: quando a renda sobe, a quantidade demandada de cada bem sobe proporcionalmente.
Relação com homoteticidade: preferências homotéticas têm a propriedade de que, ao multiplicar todos os consumos por um fator comum, as curvas de indiferença apenas se “esticam” sem mudar a taxa marginal de substituição relativa (MRS depende apenas da razão dos bens). Uma consequência importante é que, para preferencias homotéticas, as demandas Marshallianas são lineares em m: x(p,m)=m\cdot x(p,1). Isso implica elasticidade-renda igual para todos os níveis de renda e igual a 1 para cada componente — ou mais intuitivamente, as cartas de indiferença são rayos homotéticos e a expansão de renda segue esses raios. O Cobb–Douglas é um caso homotético, por isso obtemos elasticidade renda unitária e Engel linear.

Passo 7

Esboço gráfico das curvas de Engel (item d). Dicas para desenhar no exame:
  • Escolha o eixo horizontal para a renda m (com m\ge 0) e o eixo vertical para x_{i}.
  • Para cada i desenhe a reta que passa pela origem com inclinação \dfrac{\alpha_{i}}{p_{i}}. Ou seja:
x_{i}=\frac{\alpha_{i}}{p_{i}}\,m.
  • A inclinação maior significa que, para a mesma variação de renda, o consumo aumenta mais. Se \dfrac{\alpha_{1}}{p_{1}}>\dfrac{\alpha_{2}}{p_{2}} então a reta de x_{1} é mais íngreme que a de x_{2}. Ambas são retas passando pela origem, nunca curvadas, e não se cruzam exceto em m=0 (a não ser que as inclinações sejam iguais, caso em que coincidem).
Um esboço rápido mental: duas retas saindo de (0,0), uma mais inclinada (bem com maior \alpha_i/p_i) e outra menos inclinada.

Resposta

(a) \varepsilon_{m}^{x_{i}}=1 para i=1,2.\n
(b) As curvas de Engel são \displaystyle x_{i}=\frac{\alpha_{i}}{p_{i}}\,m, retas que partem da origem.\n
(c) Ambos os bens são normais ( \varepsilon_{m}^{x_{i}}>0); a homoteticidade (Cobb–Douglas é homotético) implica demandas proporcionais à renda e elasticidade-renda constante igual a 1.\n
(d) Duas retas através da origem em um gráfico x_{i} versus m, com inclinações \dfrac{\alpha_{1}}{p_{1}} e \dfrac{\alpha_{2}}{p_{2}} (a mais inclinada corresponde ao maior \dfrac{\alpha_{i}}{p_{i}}).

Exercícios relacionados