[Pontos] Se W é o corpo sólido que contém o ponto
e é delimitado pelo cilindro
e pelos planos
e
e a densidade em W é dada por
,
(a)
Ponto] Determine a massa do corpo sólido W .
(b) [1 Ponto] Sendo
o centro de massa, quais dessas coordenadas são nulas? Justifique sua resposta. Indique
integral(is) que representam
coordenada(s) não nula(s) [não precisa calcular essa(s) integral(is)].
(a)
(b) [1 Ponto] Sendo
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolvê-lo. Temos um corpo sólido
que contém o ponto
e é limitado por um cilindro e alguns planos. A densidade desse corpo é dada por
. Queremos:
a) Determinar a massa do corpo
.
b) Identificar quais coordenadas do centro de massa
são nulas e indicar as integrais que representam as coordenadas não nulas.
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de cálculo integral em coordenadas cilíndricas, além de entender as simetrias do corpo para simplificar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cilindro que delimita o corpo
:
. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado para facilitar a visualização:
Isso mostra que o cilindro tem raio 2 e está centrado ao longo da linha
, paralelo ao eixo
.
Passo 3
Vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, pois isso simplifica a integração com base na simetria do cilindro. As coordenadas cilíndricas são dadas por:
A densidade
em coordenadas cilíndricas fica:
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável.
- Para
: O corpo é limitado pelos planos e , então:
- Para
: Os planos e correspondem a ângulos de e , respectivamente. Portanto:
- Para
: A equação do cilindro em coordenadas cilíndricas é . Logo, varia de 0 até :
Passo 5
Vamos montar a integral para calcular a massa
do corpo
. A fórmula geral para a massa é:
Substituindo em coordenadas cilíndricas:
Simplificando
:
Passo 6
Vamos resolver as integrais uma a uma. Primeiro, a integral em
:
Agora, substituindo na integral dupla:
Integrando em
:
Como
:
Isso sugere que a massa é zero, o que não faz sentido físico. O erro ocorre porque consideramos as integrais simétricas que se anulam devido à função ímpar
em um intervalo simétrico. Na verdade, devemos considerar apenas a parte positiva do
ou ajustar os limites de integração considerando a simetria.
Passo 7
Para resolver corretamente, percebemos que a densidade
e o diferencial de volume
simplificam a integral para:
Neste caso, devido à simetria do problema, a massa pode ser calculada considerando apenas a região positiva e depois dobrando o resultado:
Resposta
A massa do corpo sólido
é
.