Uma certa bola de borracha é largada de uma altura de 4 metros. Cada vez que bate no chão sobe a altura
, onde
é a altura do salto anterior. Qual a distância total que a bola percorre?
Passo 1
O enunciado: uma bola de borracha é largada de 4 m, e cada vez que bate no chão ela sobe numa altura igual a 3/4 da altura do salto anterior. O conteúdo aqui é soma de série geométrica infinita, porque a altura de cada salto forma uma progressão geométrica cujos termos vão decrescendo.
Passo 2
Primeiro, a bola cai 4 m no primeiro contato com o chão. Essa é a primeira contribuição para a distância total.
Depois do primeiro choque, a bola sobe até a altura
Depois do primeiro choque, a bola sobe até a altura
Em seguida, ela volta a cair esses mesmos 3 m. Portanto, a cada salto não inicial ela percorre duas vezes a altura do salto, uma subindo e outra descendo.
Passo 3
A sequência de alturas dos saltos (após a queda inicial) é uma progressão geométrica de primeiro termo 3 e razão 3/4. Assim, a soma das distâncias após a queda inicial é
Como
para
, temos
Logo,
Passo 4
Somando a queda inicial de 4 m com os 24 m dos saltos subsequentes, a distância total percorrida pela bola é 4 + 24 = 28 m.
Resposta
28 metros