Uma certa bola de borracha é largada de uma altura de 4 metros. Cada vez que bate no chão sobe a altura 3 / 4 h, onde h é a altura do salto anterior. Qual a distância total que a bola percorre?

Passo 1

O enunciado: uma bola de borracha é largada de 4 m, e cada vez que bate no chão ela sobe numa altura igual a 3/4 da altura do salto anterior. O conteúdo aqui é soma de série geométrica infinita, porque a altura de cada salto forma uma progressão geométrica cujos termos vão decrescendo.

Passo 2

Primeiro, a bola cai 4 m no primeiro contato com o chão. Essa é a primeira contribuição para a distância total.
Depois do primeiro choque, a bola sobe até a altura
4 cdot 34 = 3,m
Em seguida, ela volta a cair esses mesmos 3 m. Portanto, a cada salto não inicial ela percorre duas vezes a altura do salto, uma subindo e outra descendo.

Passo 3

A sequência de alturas dos saltos (após a queda inicial) é uma progressão geométrica de primeiro termo 3 e razão 3/4. Assim, a soma das distâncias após a queda inicial é
2sumk=1^infty 3l(34r)^k-1 = 2cdot 3 sumj=0^inftyl(34r)^j
Como sumj=0^inftyr^j=1/(1-r) para |r|<1, temos
sumj=0^inftyl(34r)^j = 11-tfrac34 = 4
Logo,
2cdot 3 cdot 4 = 24,m

Passo 4

Somando a queda inicial de 4 m com os 24 m dos saltos subsequentes, a distância total percorrida pela bola é 4 + 24 = 28 m.

Resposta

28 metros

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