Determine a Série de Taylor em torno de x=-1 da seguinte função:
f(x)=raiz3+x^2

Passo 1

A questão pede a expansão em série de Taylor de f(x)=raiz3+x^2 em torno de x0=-1. O conteúdo principal é a série de Taylor (ou série binomial), e vamos usar a fórmula para raiz1+u.

Passo 2

Para centralizar em x=-1, definimos h=x+1. Assim
f(x)=raiz3+(-1+h)^2=raiz4-2h+h^2
Em seguida, fatoramos 4 para usar a série binomial:
f(x)=2raiz1+u, u=-tfrach2+tfrach^24

Passo 3

Lembrando que a série binomial para raiz1+u é
raiz1+u=sumn=0^inftybinomtfrac12nu^n,binomtfrac12n=(1/2)(1/2-1)cdots(1/2-n+1)n!
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f(x)=2sumn=0^inftybinomtfrac12nu^n

Passo 4

Calculamos os primeiros termos: para n=0,1,2,3,4 e expandimos u^n em potências de h. Coletando, obtemos
f(x)=2-tfrac12h+tfrac316h^2+tfrac364h^3+tfrac1128h^4-cdots

Passo 5

Voltando a h=x+1, achamos a série em potências de x+1.

Resposta

f(x)=2-12(x+1)+316(x+1)^2+364(x+1)^3+1128(x+1)^4-3256(x+1)^5+cdots

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