Resolva por separação de variáveis as equações a seguir.
d Pd t=k P(100-P), k constante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve como uma quantidade d Pd t = k P (100 - P) muda ao longo do tempo . A equação é:
Aqui, é uma constante. Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, precisamos isolar de um lado e do outro lado da equação.

Passo 2

O método de separação de variáveis consiste em reescrever a equação de modo que todas as expressões que envolvem 1P (100 - P) , dP = k , dt fiquem de um lado e as que envolvem fiquem do outro. Vamos começar dividindo ambos os lados da equação por :

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados para encontrar integral 1P (100 - P) , dP = integral k , dt em função de . A integral do lado esquerdo é um pouco mais complicada, então vamos resolver passo a passo:

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, usaremos a técnica de frações parciais. Queremos escrever:
1P (100 - P) = AP + B100 - P
Multiplicando ambos os lados por 1 = A (100 - P) + B P , obtemos:
1 = A (100) implies A = 1100
Resolvendo para 1 = B (100) implies B = 1100 e 1P (100 - P) = 1100 ( 1P + 1100 - P ) , podemos escolher valores convenientes para . Se :
Se :
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
integral 1100 ( 1P + 1100 - P ) dP = integral k , dt
Podemos separar as integrais:
1100 integral 1P , dP + 1100 integral 1100 - P , dP = k t + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Calculamos as integrais:
1100 ln |P| - 1100 ln |100 - P| = k t + C
Podemos combinar os logaritmos:
1100 ln ( P100 - P ) = k t + C

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por 100 para simplificar:
ln ( P100 - P ) = 100 k t + C'
Onde é uma nova constante.

Passo 8

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
P100 - P = e^100 k t + C' = e^C' e^100 k t
Podemos renomear P100 - P = A e^100 k t como uma nova constante , então:

Passo 9

Resolvemos para P = A e^100 k t (100 - P) :
P + A e^100 k t P = 100 A e^100 k t
P (1 + A e^100 k t) = 100 A e^100 k t
P = 100 A e^100 k t1 + A e^100 k t

Passo 10

Finalmente, podemos expressar a solução de forma mais compacta substituindo P(t) = 1001 + B e^-100 k t por outra constante (onde ):

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
P(t) = 1001 + B e^-100 k t
onde é uma constante determinada pelas condições iniciais do problema.

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