Resolva por separação de variáveis as equações a seguir.
constante.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve como uma quantidade
muda ao longo do tempo
. A equação é:
Aqui,
é uma constante. Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, precisamos isolar
de um lado e
do outro lado da equação.
Passo 2
O método de separação de variáveis consiste em reescrever a equação de modo que todas as expressões que envolvem
fiquem de um lado e as que envolvem
fiquem do outro. Vamos começar dividindo ambos os lados da equação por
:
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados para encontrar
em função de
. A integral do lado esquerdo é um pouco mais complicada, então vamos resolver passo a passo:
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, usaremos a técnica de frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Resolvendo para
e
, podemos escolher valores convenientes para
. Se
:
Se
:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
Podemos separar as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calculamos as integrais:
Podemos combinar os logaritmos:
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por 100 para simplificar:
Onde
é uma nova constante.
Passo 8
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Podemos renomear
como uma nova constante
, então:
Passo 9
Resolvemos para
:
Passo 10
Finalmente, podemos expressar a solução de forma mais compacta substituindo
por outra constante
(onde
):
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante determinada pelas condições iniciais do problema.