Uma certa bomba é capaz de manter uma diferença de pressão por unidade de comprimento em uma tubulação cilíndrica de raio R_{1} e fornecer um fluxo de massa Q_{0}. Deseja-se substituir a tubulação simples por duas tubulações cilíndricas menores, cada uma com raio R_{2}. A bomba manterá a diferença de pressão por unidade de comprimento original para cada tubulação e o fluxo de massa total conduzido pelas duas tubulações permanece igual a Q_{0}. Qual deve ser a relação entre os raios R_{1} / R_{2} ?
(A) 2 .
(B) \sqrt{2}.
(C) \sqrt[4]{2}.
(D) 4 .

Passo 1

O enunciado envolve escoamento laminar de um fluido em tubos cilíndricos e pede a relação entre os raios de uma tubulação única de raio R_{1} e duas tubulações em paralelo de raio R_{2}, de forma que, mantendo a mesma diferença de pressão por unidade de comprimento, o fluxo de massa total permaneça Q_{0}. Para resolver, vamos usar a lei de Hagen–Poiseuille, que diz que, em escoamento laminar, o fluxo volumétrico Q em um tubo cilíndrico varia como o quarto poder do raio.

Passo 2

Pela lei de Hagen–Poiseuille, o fluxo volumétrico em um tubo de raio R sob diferença de pressão por comprimento \Delta P/L fixa é
Q = \frac{\pi\,R^{4}}{8\,\mu}\,\frac{\Delta P}{L},
onde \mu é a viscosidade. Como \Delta P/L e \mu são os mesmos, concluímos que
Q \propto R^{4}.
Para a tubulação única de raio R_{1} temos
Q_{0}\propto R_{1}^{4}.

Passo 3

Nas duas tubulações em paralelo, cada uma de raio R_{2} terá fluxo Q_{2}\propto R_{2}^{4}. Como elas estão em paralelo, o fluxo total é
Q_{\text{total}} = 2\,Q_{2}.
Pede-se que esse total seja igual a Q_{0}, ou seja,
2\,R_{2}^{4} = R_{1}^{4}.

Passo 4

Basta agora resolver para a razão R_{1}/R_{2}:
R_{1}^{4} = 2\,R_{2}^{4} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\tfrac{R_{1}}{R_{2}}\bigr)^{4} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{R_{1}}{R_{2}} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}.

Resposta

(C) \sqrt[4]{2}

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