Em certa cidade entrevistou aleatoriamente 1200 pessoas em relação a satisfação da gestão do atual prefeito, sendo que 300 foram favoráveis a essa gestão.
O prefeito afirma que a proporção de favoráveis ao seu governo é de 70 %, avalie a afirmação com base no resultado obtido no item a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma pesquisa realizada com 1200 pessoas para saber se elas estão satisfeitas com a gestão do prefeito atual. Destas, 300 pessoas estão favoráveis. O prefeito diz que 70% das pessoas apoiam seu governo. Nosso objetivo aqui é avaliar se essa afirmação dele está de acordo com os resultados da pesquisa. Para isso, vamos usar um teste estatístico para comparar a proporção observada com a que o prefeito afirmou.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os números que temos. Foram entrevistadas 1200 pessoas no total, e 300 delas disseram ser favoráveis à gestão do prefeito. Para encontrar a proporção observada de favoráveis na pesquisa, dividimos o número de favoráveis pelo total de entrevistados:
p = 3001200 = 0,25 ou 25%

Passo 3

Agora, o prefeito afirma que 70% das pessoas são favoráveis à sua gestão. Queremos verificar se essa proporção declarada é compatível com os resultados da pesquisa ou se há uma diferença significativa.

Passo 4

Vamos formular as hipóteses para o teste estatístico:
  • Hipótese nula ( H0): A proporção de favoráveis é 70%, ou seja, $ p = 0,70 $.
  • Hipótese alternativa ( p = 0,70 ): A proporção de favoráveis não é 70%, ou seja, $ p \neq 0,70 $.

Passo 5

Para comparar a proporção observada com a afirmada pelo prefeito, vamos usar o teste Z para uma proporção. Esse teste nos ajuda a verificar se a diferença entre a proporção observada e a proporção esperada é significativa ou pode ser explicada pelo acaso.

Passo 6

Vamos calcular o valor do teste Z usando a seguinte fórmula:
Z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • p é a proporção observada (0,25),
  • p0 é a proporção afirmada pelo prefeito (0,70),
  • n é o tamanho da amostra (1200).
Substituindo os valores:
Z = 0,25 - 0,70raiz0,70 times 0,301200 = -0,45raiz0,211200 = -0,45raiz0,000175 approx -0,450,01323 approx -34,05

Passo 7

Com o valor de Z calculado, vamos comparar com o valor crítico do teste. Como estamos fazendo um teste bilateral (pois a hipótese alternativa é $ p \neq 0,70 $), usamos um nível de significância comum de 5%, que corresponde a valores críticos de aproximadamente p neq 0,70 e -1,96.
O valor de Z calculado ( +1,96) é muito menor que -34,05, o que significa que está na região de rejeição.

Passo 8

Como o valor de Z está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula. Isso indica que há evidências suficientes para afirmar que a proporção de favoráveis à gestão do prefeito não é 70%.

Resposta

Com base na pesquisa, a afirmação do prefeito de que 70% das pessoas são favoráveis à sua gestão não é suportada pelos dados, já que a proporção observada foi de apenas 25%, e a diferença é estatisticamente significativa.

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