Em certa cidade entrevistou aleatoriamente 1200 pessoas em relação a satisfação da gestão do atual prefeito, sendo que 300 foram favoráveis a essa gestão.
O prefeito afirma que a proporção de favoráveis ao seu governo é de
, avalie a afirmação com base no resultado obtido no item a).
O prefeito afirma que a proporção de favoráveis ao seu governo é de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma pesquisa realizada com 1200 pessoas para saber se elas estão satisfeitas com a gestão do prefeito atual. Destas, 300 pessoas estão favoráveis. O prefeito diz que 70% das pessoas apoiam seu governo. Nosso objetivo aqui é avaliar se essa afirmação dele está de acordo com os resultados da pesquisa. Para isso, vamos usar um teste estatístico para comparar a proporção observada com a que o prefeito afirmou.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os números que temos. Foram entrevistadas 1200 pessoas no total, e 300 delas disseram ser favoráveis à gestão do prefeito. Para encontrar a proporção observada de favoráveis na pesquisa, dividimos o número de favoráveis pelo total de entrevistados:
Passo 3
Agora, o prefeito afirma que 70% das pessoas são favoráveis à sua gestão. Queremos verificar se essa proporção declarada é compatível com os resultados da pesquisa ou se há uma diferença significativa.
Passo 4
Vamos formular as hipóteses para o teste estatístico:
- Hipótese nula (
): A proporção de favoráveis é 70%, ou seja, $ p = 0,70 $. - Hipótese alternativa (
): A proporção de favoráveis não é 70%, ou seja, $ p \neq 0,70 $.
Passo 5
Para comparar a proporção observada com a afirmada pelo prefeito, vamos usar o teste Z para uma proporção. Esse teste nos ajuda a verificar se a diferença entre a proporção observada e a proporção esperada é significativa ou pode ser explicada pelo acaso.
Passo 6
Vamos calcular o valor do teste Z usando a seguinte fórmula:
Onde:
-
é a proporção observada (0,25), -
é a proporção afirmada pelo prefeito (0,70), -
é o tamanho da amostra (1200).
Substituindo os valores:
Passo 7
Com o valor de Z calculado, vamos comparar com o valor crítico do teste. Como estamos fazendo um teste bilateral (pois a hipótese alternativa é $ p \neq 0,70 $), usamos um nível de significância comum de 5%, que corresponde a valores críticos de aproximadamente
e
.
O valor de Z calculado (
) é muito menor que
, o que significa que está na região de rejeição.
Passo 8
Como o valor de Z está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula. Isso indica que há evidências suficientes para afirmar que a proporção de favoráveis à gestão do prefeito não é 70%.
Resposta
Com base na pesquisa, a afirmação do prefeito de que 70% das pessoas são favoráveis à sua gestão não é suportada pelos dados, já que a proporção observada foi de apenas 25%, e a diferença é estatisticamente significativa.