Em uma certa cidade, a função densidade de probabilidade de que x min seja a duração de uma chamada telefônica escolhida ao acaso, é dada por
f(x)= 13 e^-x / 3 & se x >= 0 0 & se x<0
Ache a probabilidade de que uma chamada telefônica escolhida ao acaso dure: entre 1 min e 2 min.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de uma chamada durar entre 1 e 2 minutos, sabendo que sua duração segue a densidade exponencial
com parâmetro lambda=1/3. Vamos usar teoria de distribuição exponencial para resolver.

Passo 2

Para distribuição exponencial com parâmetro lambda, a função de distribuição acumulada (CDF) é
F(x)=1-e^-lambda xpara x>=0
No nosso caso, lambda=1/3, então
F(x)=1-e^-x/3

Passo 3

A probabilidade desejada é
$$P(1\le X\le2)=F(2)-F(1).
$$

Passo 4

Substituindo na expressão da CDF:
F(2)=1-e^-2/3,
$$F(1)=1-e^{-1/3}.
F(1)=1-e^-1/3 P(1\le X\le2)=(1-e{-2/3})-(1-e{-1/3})=e{-1/3}-e{-2/3}.
$$

Resposta

P(1<= X<=2)=e^-1/3-e^-2/3approx0,203

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