Nosso objetivo, neste exercício, é encontrar os valores de x que minimizam o comprimento do segmento vertical A B, em que A=(x, 16 x^2) e B=(x, -1x^2).
Determine os pontos críticos e os intervalos de crescimento/decrescimento de f(x).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos
A=(x,16x^2), B=l(x,-tfrac1x^2r),
e pede para minimizar o comprimento do segmento vertical AB. Como eles têm mesma abscissa x, o comprimento é
f(x)=l|,16x^2-l(-tfrac1x^2r)r|=16x^2+tfrac1x^2,
definida para xneq0. O conteúdo aqui é cálculo de derivada para encontrar pontos críticos e estudo de crescimento e decrescimento em cada intervalo do domínio.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de
f(x)=16x^2+x^-2
Usando derivação termo a termo,
f'(x)=32x-2x^-3=32x-tfrac2x^3

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
32x-tfrac2x^3=0 Longrightarrow 32x^4-2=0 Longrightarrow x^4=tfrac116 Longrightarrow x=pmtfrac12

Passo 4

Para estudar o sinal de f'(x)=32x^4-2x^3, analisamos numerador e denominador separadamente:
– Numerador 32x^4-2 é negativo se |x|<tfrac12 e positivo se |x|>tfrac12.
– Denominador x^3 é negativo para x<0 e positivo para x>0.
Logo, o sinal de f'(x) em cada intervalo é:
f'(x)<0,&xin(-infty,-tfrac12), f'(x)>0,&xin(-tfrac12,0), f'(x)<0,&xin(0,tfrac12), f'(x)>0,&xin(tfrac12,infty)

Passo 5

Como f' muda de negativo para positivo em x=-tfrac12 e em x=tfrac12, cada um deles é ponto de mínimo local. E não há outros pontos críticos no domínio.

Resposta

Pontos críticos: x=-tfrac12 e x=tfrac12.
Intervalos de crescimento: (-tfrac12,0) e (tfrac12,infty).
Intervalos de decrescimento: (-infty,-tfrac12) e (0,tfrac12).

Exercícios relacionados