Nosso objetivo, neste exercício, é encontrar os valores de que minimizam o comprimento do segmento vertical , em que e .
Determine os pontos críticos os intervalos de crescimento/decrescimento de .
Passo 1
O enunciado dá dois pontos
e pede para minimizar o comprimento do segmento vertical . Como eles têm mesma abscissa , o comprimento é
definida para xneq0. O conteúdo aqui é cálculo de derivada para encontrar pontos críticos e estudo de crescimento e decrescimento em cada intervalo do domínio.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
f(x)=16x^2+x^-2
Usando derivação termo a termo,
f'(x)=32x-2x^-3=32x-tfrac2x^3
Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
Para estudar o sinal de f'(x)=32x^4-2x^3, analisamos numerador e denominador separadamente:
– Numerador 32x^4-2 é negativo se |x|<tfrac12 e positivo se |x|>tfrac12.
– Denominador x^3 é negativo para x<0 e positivo para x>0.
Logo, o sinal de f'(x) em cada intervalo é:
Como f' muda de negativo para positivo em x=-tfrac12 e em x=tfrac12, cada um deles é ponto de mínimo local. E não há outros pontos críticos no domínio.
Resposta
Pontos críticos: x=-tfrac12 e x=tfrac12.
Intervalos de crescimento: (-tfrac12,0) e (tfrac12,infty).
Intervalos de decrescimento: (-infty,-tfrac12) e (0,tfrac12).