Numa certa cultura de bactérias, a taxa de crescimento do número de bactérias é proporcional ao número presente. Determine o número de bactérias em qualquer instante.

Passo 1

O enunciado diz que, numa cultura de bactérias, a variação instantânea do número de bactérias é proporcional ao número presente. Isso é um caso clássico de equação diferencial de crescimento exponencial. Para resolver, vamos modelar com uma função N(t) que representa o número de bactérias no instante t e usar separação de variáveis.

Passo 2

Escrevemos a proporcionalidade como uma equação diferencial de 1.ª ordem:
\frac{dN}{dt} = k\,N,
em que k é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento).

Passo 3

Aplicamos o método de separação de variáveis, isolando N de um lado e t do outro:
\frac{dN}{N} = k\,dt.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{N}\,dN = \int k\,dt
que leva a
\ln|N| = k\,t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Exponentiamos para eliminar o logaritmo:
|N| = e^{k\,t + C} = e^{C}\,e^{k\,t}.
Como N(t) é positivo, podemos escrever
N(t) = C'\,e^{k\,t},
com C' = e^{C}>0.

Passo 6

Interpretando C' como o valor inicial de bactérias N(0), ou seja, C' = N(0)\equiv N_{0}, obtemos a solução geral:
N(t) = N_{0}\,e^{k\,t}.

Resposta

A solução para o número de bactérias em função do tempo é
N(t) = N_{0}\,e^{k\,t},
onde N_{0} é o número inicial de bactérias e k a taxa de crescimento.

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