Numa certa cultura de bactérias, a taxa de crescimento do número de bactérias é proporcional ao número presente. Determine o número de bactérias em qualquer instante.
Passo 1
O enunciado diz que, numa cultura de bactérias, a variação instantânea do número de bactérias é proporcional ao número presente. Isso é um caso clássico de equação diferencial de crescimento exponencial. Para resolver, vamos modelar com uma função
que representa o número de bactérias no instante
e usar separação de variáveis.
Passo 2
Escrevemos a proporcionalidade como uma equação diferencial de 1.ª ordem:
em que
é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento).
Passo 3
Aplicamos o método de separação de variáveis, isolando
de um lado e
do outro:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
que leva a
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Exponentiamos para eliminar o logaritmo:
Como
é positivo, podemos escrever
com
.
Passo 6
Interpretando
como o valor inicial de bactérias
, ou seja,
, obtemos a solução geral:
Resposta
A solução para o número de bactérias em função do tempo é
onde
é o número inicial de bactérias e
a taxa de crescimento.