Mostre por indução a validade das seguintes fórmulas:
Use o princípio da indução para provar as seguintes afirmações:
.
Use o princípio da indução para provar as seguintes afirmações:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução, que para todo
vale
O conteúdo é o princípio de indução matemática: verificamos o caso base e depois provamos que, se vale para
, então vale para
.
Passo 2
(Caso base) Para
temos
logo a propriedade é verdadeira em
.
Passo 3
(Passo indutivo — hipótese) Suponha que para algum
já seja verdadeiro
Queremos mostrar que então
Passo 4
Note que, para todo
,
pois ao multiplicar em cruz obtemos
Como
e o expoente
é positivo, segue
Passo 5
Escrevendo
e usando a hipótese indutiva
, obtemos
Com isso concluímos
que é justamente o que queríamos para o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução, vale para todo
que