Mostre por indução a validade das seguintes fórmulas:
Use o princípio da indução para provar as seguintes afirmações:
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}<n, \quad \forall n \geq 3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução, que para todo n\ge3 vale
\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{n}<n.
O conteúdo é o princípio de indução matemática: verificamos o caso base e depois provamos que, se vale para n, então vale para n+1.

Passo 2

(Caso base) Para n=3 temos
\Bigl(\frac{3+1}{3}\Bigr)^{3}=\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^{3}=\frac{64}{27}\approx2{,}37<3,
logo a propriedade é verdadeira em n=3.

Passo 3

(Passo indutivo — hipótese) Suponha que para algum n\ge3 já seja verdadeiro
\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{n}<n.
Queremos mostrar que então
\Bigl(\frac{(n+1)+1}{\,n+1\,}\Bigr)^{n+1} = \Bigl(\frac{n+2}{n+1}\Bigr)^{n+1}<n+1.

Passo 4

Note que, para todo n\ge1,
\frac{n+2}{n+1}<\frac{n+1}{n},
pois ao multiplicar em cruz obtemos
(n+2)\,n<n\,(n+1)\quad\Longleftrightarrow\quad n^2+2n<n^2+2n+1.
Como \frac{n+2}{n+1}<\frac{n+1}{n} e o expoente n+1 é positivo, segue
\Bigl(\frac{n+2}{n+1}\Bigr)^{n+1} < \Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{n+1}.

Passo 5

Escrevendo
\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{n+1} = \Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{n} \cdot \frac{n+1}{n},
e usando a hipótese indutiva \bigl(\tfrac{n+1}{n}\bigr)^{n}<n, obtemos
\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{n+1} < n\cdot\frac{n+1}{n} = n+1.
Com isso concluímos
\Bigl(\frac{n+2}{n+1}\Bigr)^{n+1}<n+1,
que é justamente o que queríamos para o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução, vale para todo n\ge3 que
\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{n}<n.

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