Resolva o problema de valor inicial
\begin{gathered} y^{\prime}+2 y=g(t), \quad y(0)=0, \text { em que } \\\ g(t)=\left\{\begin{array}{lc} 1, & 0 \leq t \leq 1, \\\\ 0, & t>1 . \end{array}\right. \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' + 2y = g(t),\quad y(0)=0,
onde
g(t)= \begin{cases} 1, & 0\le t\le1,\\\\ 0, & t>1. \end{cases}
Isso é uma EDO linear de primeira ordem com termo forçado em dois intervalos. Vamos usar o fator integrante para achar y(t) em cada região.

Passo 2

No intervalo 0\le t\le1 temos g(t)=1. A EDO é
y' + 2y = 1.
O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtém-se
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}y\bigr)=e^{2t}\cdot 1=e^{2t}.
Integrando de 0 até t\le1,
e^{2t}y(t)-e^{0}y(0)=\int_{0}^{t}e^{2s}\,ds \quad\Longrightarrow\quad e^{2t}y(t)=\frac{e^{2t}-1}{2}.
Como y(0)=0, concluímos
y(t)=\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-2t}\bigr),
e em particular
y(1)=\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-2}\bigr).

Passo 3

Para t>1, g(t)=0 e a EDO vira a homogênea
y' + 2y = 0.
A solução geral é y(t)=C\,e^{-2t}. Impomos a condição de continuidade em t=1:
y(1)=C\,e^{-2\cdot1}=\tfrac12\bigl(1-e^{-2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad C=\tfrac12\bigl(1-e^{-2}\bigr)e^{2}.
Logo, para t>1,
y(t) =\tfrac12\bigl(1-e^{-2}\bigr)e^{2}\,e^{-2t} =\tfrac12\bigl(1-e^{-2}\bigr)e^{-2(t-1)}.

Resposta

y(t)= \begin{cases} \displaystyle \tfrac12\bigl(1-e^{-2t}\bigr), & 0\le t\le1,\\[1ex] \displaystyle \tfrac12\bigl(1-e^{-2}\bigr)\,e^{-2(t-1)}, & t>1. \end{cases}]

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