Mostre por indução a validade das seguintes fórmulas:
Use o princípio da indução para provar as seguintes afirmações:
(n+1)(n+2) \cdots(n+n)=2^{n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1).

Passo 1

Vamos provar por indução em n\ge1 a afirmação
P(n):\quad(n+1)(n+2)\cdots(n+n)=2^{n}\,1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1).
O conteúdo é o princípio da indução: mostrar que P(1) vale e que P(n)\implies P(n+1).

Passo 2

(Base da indução) Para n=1 temos o lado esquerdo
(1+1)=2
e o direito
2^{1}\cdot1=2\cdot1=2.
Logo P(1) é verdadeira.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que P(n) seja verdadeira para algum n\ge1, isto é, suponha
(n+1)(n+2)\cdots(2n)=2^{n}\,1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1).

Passo 4

(Passo indutivo) Precisamos mostrar que
(n+2)(n+3)\cdots(2n+2)=2^{\,n+1}\,1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1).
Observe que
\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k) =\Bigl(\prod_{k=2}^{n+1}(n+k)\Bigr)\,(2n+2) =\frac{\prod_{k=1}^{n+1}(n+k)}{n+1}\,(2n+2).
Pela hipótese de indução,
\prod_{k=1}^{n+1}(n+k) =(n+1)(n+2)\cdots(2n+1) =\bigl[(n+1)\cdots(2n)\bigr]\,(2n+1) =2^{n}\,(1\cdot3\cdots(2n-1))\,(2n+1).
Substituindo,
\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k) =\frac{2^{n}\,(1\cdot3\cdots(2n-1))\,(2n+1)}{n+1}\,(2n+2) =2^{n}\,(1\cdot3\cdots(2n-1))\,(2n+1)\,\frac{2n+2}{n+1}.
Como \frac{2n+2}{n+1}=2, segue
\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k) =2^{n}\cdot2\,(1\cdot3\cdots(2n-1))\,(2n+1) =2^{\,n+1}\,(1\cdot3\cdots(2n+1)),
que é exatamente P(n+1).

Resposta

Por indução, a igualdade
(n+1)(n+2)\cdots(2n)=2^{n}\,1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)
é verdadeira para todo n\ge1.

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