Uma força eletromotriz
E(t)= \begin{cases}120, & 0 \leq t \leq 20 \\\\ 0, & t>20\end{cases}
é aplicada em um circuito em série L R no qual a inductância é de 20 henrys e a resistência é de 2 ohms. Ache a corrente i(t) se i(0)=0.

Passo 1

O enunciado trata de um circuito série L R\) com \(L=20\\ \mathrm{H}\), \(R=2\\ \Omega\) e força eletromotriz \[E(t)= \begin{cases} 120, & 0\le t\le 20,\\\\ 0, & t>20. \end{cases}
Queremos encontrar a corrente i(t)\] obedecendo à condição inicial \(i(0)=0. Vamos usar a equação diferencial de malha e resolver uma EDO linear de primeira ordem por partes.

Passo 2

A equação de malha do circuito é
L\,\frac{di}{dt}+R\,i=E(t).
Como L=20 e R=2, o tempo de constante é \tau=\tfrac{L}{R}=10. A solução geral é dada por
i(t)=i_h(t)+i_p(t),
onde i_h satisfaz L\,di_h/dt+R\,i_h=0 e i_p é uma solução particular.

Passo 3

Para 0\le t\le 20, temos E(t)=120.
A parte homogênea é
i_h(t)=A\,e^{-t/\tau}=A\,e^{-t/10}.
Uma solução particular constante satisfaz R\,i_p=120, logo
i_p=\frac{120}{R}=60.
Assim
i(t)=A\,e^{-t/10}+60.
Usando i(0)=0
0 = A+60 \quad\Longrightarrow\quad A=-60.
Portanto, para 0\le t\le 20,
i(t)=60\bigl(1-e^{-t/10}\bigr).

Passo 4

Para t>20, a EDO fica L\,di/dt+R\,i=0, com solução
i(t)=B\,e^{-t/10}.
A constante B é ajustada para continuidade em t=20, isto é,
i(20)=60\bigl(1-e^{-2}\bigr)
deve ser igual a B\,e^{-20/10}=B\,e^{-2}. Logo
B=60\,(1-e^{-2})\,e^{2}.
Reescrevendo em função de t-20, obtemos para t>20 i(t)=60\bigl(1-e^{-2}\bigr)\,e^{-(t-20)/10}.

Resposta

i(t)= \begin{cases} 60\bigl(1-e^{-t/10}\bigr), & 0\le t\le 20,\\\\ 60\bigl(1-e^{-2}\bigr)\,e^{-(t-20)/10}, & t>20. \end{cases}

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