Para uma certa cultura, a quantidade de insumo fornecida e a produtividade seguem um modelo de parábola invertida. Isto é, pouco insumo ou muito insumo é ruim e gera baixa produção, mas uma quantidade intermediária de insumo gera produtividade alta. Seja P(x) a produtividade (em sacas) da cultura em função da quantidade x (em kg) de insumo fornecida.
P(x)=-0,06 x^2+2,92 x+47,6
(a) Qual a produtividade se não for fornecido insumo?
(b) Qual a quantidade de insumo a ser fornecido para maximizar a produtividade?
(c) Qual a produtividade máxima?
(d) Qual a quantidade de insumo para manter a produtividade acima de 70 sacas?
(e) A partir de qual quantidade de insumo a terra se torna tão tóxica que não há mais produção?

Passo 1

O enunciado nos dá a produtividade P(x) em função do insumo x pela parábola invertida
P(x)=-0,06x^2+2,92x+47,6
Isso envolve:
– Avaliar P(x) em pontos específicos;
– Determinar o vértice de uma parábola para maximizar P;
– Resolver equações quadráticas P(x)=k para achar intervalos de produtividade;
– Identificar as raízes de P(x)=0 para ver onde a produção some.

Passo 2

Para (a) basta avaliar em x=0:
P(0)=-0,06cdot0^2+2,92cdot0+47,6=47,6

Passo 3

Para (b) a quantidade que maximiza vem do vértice da parábola. Se P(x)=ax^2+bx+c com a=-0,06 e b=2,92, o abscissa do vértice é
xV=-b2a=-2,922cdot(-0,06)=2,920,12=24,33 kg (aprox)

Passo 4

Para (c) calculamos P(xV). Substituindo xVapprox24,33 em P(x):
Pmax=P(24,33)approx -0,06cdot(24,33)^2+2,92cdot24,33+47,6approx83,13 sacas

Passo 5

Para (d) queremos P(x)>=70. Resolvemos
-0,06x^2+2,92x+47,6=70
-0,06x^2+2,92x-22,4=0
O discriminante é De<a=2,92^2-4cdot(-0,06)cdot(-22,4)approx3,1504, com raízes
x1,2=-2,92pmraizDe<a2cdot(-0,06) approx9,54e39,12
Como a parábola abre para baixo, P(x)>=70 para
9,54<= x<=39,12 kg (aprox)

Passo 6

Para (e) achamos onde P(x)=0:
-0,06x^2+2,92x+47,6=0
Multiplicando por -1 e aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos a raiz positiva
xapprox61,56 kg
Para x acima deste valor a produtividade fica não-positiva, ou seja, não há produção.

Resposta

(a) 47,6 sacas
(b) 24,33 kg
(c) 83,13 sacas
(d) Para x entre 9,54 kg e 39,12 kg
(e) A partir de 61,56 kg

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