Para uma certa cultura, a quantidade de insumo fornecida e a produtividade seguem um modelo de parábola invertida. Isto é, pouco insumo ou muito insumo é ruim e gera baixa produção, mas uma quantidade intermediária de insumo gera produtividade alta. Seja
a produtividade (em sacas) da cultura em função da quantidade
(em kg) de insumo fornecida.
(a) Qual a produtividade se não for fornecido insumo?
(b) Qual a quantidade de insumo a ser fornecido para maximizar a produtividade?
(c) Qual a produtividade máxima?
(d) Qual a quantidade de insumo para manter a produtividade acima de 70 sacas?
(e) A partir de qual quantidade de insumo a terra se torna tão tóxica que não há mais produção?
(b) Qual a quantidade de insumo a ser fornecido para maximizar a produtividade?
(c) Qual a produtividade máxima?
(d) Qual a quantidade de insumo para manter a produtividade acima de 70 sacas?
(e) A partir de qual quantidade de insumo a terra se torna tão tóxica que não há mais produção?
Passo 1
O enunciado nos dá a produtividade
em função do insumo
pela parábola invertida
Isso envolve:
– Avaliar em pontos específicos;
– Determinar o vértice de uma parábola para maximizar ;
– Resolver equações quadráticas para achar intervalos de produtividade;
– Identificar as raízes de para ver onde a produção some.
– Avaliar
– Determinar o vértice de uma parábola para maximizar
– Resolver equações quadráticas
– Identificar as raízes de
Passo 2
Para (a) basta avaliar em
:
Passo 3
Para (b) a quantidade que maximiza vem do vértice da parábola. Se
com
e
, o abscissa do vértice é
Passo 4
Para (c) calculamos
. Substituindo
em
:
Passo 5
Para (d) queremos
. Resolvemos
O discriminante é
, com raízes
Como a parábola abre para baixo,
para
Passo 6
Para (e) achamos onde
:
Multiplicando por
e aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos a raiz positiva
Para
acima deste valor a produtividade fica não-positiva, ou seja, não há produção.
Resposta
(a)
sacas
(b) kg
(c) sacas
(d) Para entre
kg e
kg
(e) A partir de kg
(b)
(c)
(d) Para
(e) A partir de