Quadrados de tamanho x são removidos de uma peça de papelão de 10 cm por 25 cm para obter uma caixa sem tampa.
(a) Qual a expressão do volume V(x) dessa caixa em relação ao tamanho x removido?
(b) Se o valor x só puder ser escolhido como inteiro ou meio centímetro (números com final ^*, 0 ou ^*, 5), para quais medidas o volume da caixa será de no mínimo 200 cm^3 ? Dica: calcule o volume para os valores admissíveis.

Passo 1

O enunciado dá um retângulo de 10 cm por 25 cm e corta quadrados de lado x nos quatro cantos para montar uma caixa sem tampa. O conteúdo é modelar o volume de uma caixa aberta em função de x e depois avaliar essa função em valores discretos de x.

Passo 2

Ao cortar quadrados de lado x e recolher as abas, a altura da caixa é x e as dimensões da base ficam 10-2x e 25-2x. Logo,
V(x)=x,(10-2x),(25-2x)

Passo 3

Para que a caixa exista, precisamos de 0<x<5. Como x só pode ser inteiro ou meio centímetro, consideramos
xin0,5;;1,0;;1,5;;2,0;;2,5;;3,0;;3,5;;4,0;;4,5;;5,0

Passo 4

Calculando V(x) para cada valor admissível:
x=0,5implies V=0,5cdot9cdot24=108 x=1,0implies V=1cdot8cdot23=184 x=1,5implies V=1,5cdot7cdot22=231 x=2,0implies V=2cdot6cdot21=252 x=2,5implies V=2,5cdot5cdot20=250 x=3,0implies V=3cdot4cdot19=228 x=3,5implies V=3,5cdot3cdot18=189 x=4,0implies V=4cdot2cdot17=136 x=4,5implies V=4,5cdot1cdot16=72 x=5,0implies V=5cdot0cdot15=0

Passo 5

Selecionando os valores com V(x) >= 200, obtemos
x=1,5 cm, x=2,0 cm, x=2,5 cm e x=3,0 cm.

Resposta

(a)
V(x)=x,(10-2x),(25-2x)
(b) As medidas de x que garantem V >= 200 , cm^3 são x=1,5 cm, 2,0 cm, 2,5 cm e 3,0 cm.

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