Seja P(x)=-1557,9+16,032 x-0,014 x^2 a produtividade de feijão em kg / ha de acordo com a quantidade x de água ( mm ) fornecida.
(a) Qual a quantidade de água que deve ser fornecida para termos produtividade máxima?
(b) Qual a produtividade máxima?
(c) Considere que o preço de venda do feijão é V=R 5,20 por kg , o custo de insumo é éC a=R $1,20 1,20áçãé600,00 por ha. Então o lucro pode ser calculado pela diferença entre total recebido na venda e total gasto, isto é, 600,00 por ha Então o lucro pode ser calculado pela diferença entre total recebido na venda e total gasto, isto é, .
Qual deve ser o fornecimento de água para obtermos lucro máximo por ha?

Passo 1

O enunciado nos dá a produtividade de feijão por hectare em função da água x (em mm):
P(x) = -1557,9 + 16,032,x - 0,014,x^2
Isso é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x^2 negativo).
(a) e (b) pedem o vértice dessa parábola (posição e valor máximo).
(c) define o lucro
L(x) = Vcdot P(x) - Ca,x - Cf
com V=5,20, Ca=1,20 e Cf=600, e pede a água que maximiza L(x), ou seja, o vértice de outra parábola.

Passo 2

Para achar a água que maximiza P(x) usamos a fórmula do vértice de a x^2 + b x + c, que ocorre em
x = -b2a
Aqui a = -0,014 e b = 16,032, logo
x!Pmax = -16,0322cdot(-0,014) = 16,0320,028 approx 572,57 mm

Passo 3

O valor máximo de produtividade é
Pmax ;=; Pl(572,57r) ;=; -1557,9 + 16,032cdot572,57 - 0,014cdot(572,57)^2 approx 3035,76 kg/ha

Passo 4

Agora montamos o lucro por hectare:
L(x) = 5,20,P(x) ;-;1,20,x ;-;600
Substituindo P(x) e agrupando termos obtém-se
L(x) = -0,0728,x^2 ;+;82,1664,x ;-;8701,08,
outra parábola com a=-0,0728 e b=82,1664.

Passo 5

O vértice de L(x) ocorre em
x!Lmax = -b2a = -82,16642cdot(-0,0728) = 82,16640,1456 approx 564,34 mm

Resposta

(a) 572,57 mm
(b) 3035,76 kg/ha
(c) 564,34 mm

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