Uma certa dieta requer 7 unidades de gordura, 9 unidades de proteína e 16 unidades de carboidrato para a refeição principal e uma certa pessoa dispõe de três alimentos com os quais pode montar sua dieta:
Alimento Cada medida contém
1 2 unidades de gordura, 2 unidades de proteína e 4 unidades de carboidrato
2 3 unidades de gordura, 1 unidades de proteína e 2 unidades de carboidrato
3 1 unidades de gordura, 3 unidades de proteína e 5 unidades de carboidrato
Sejam e o número de medidas que a pessoa consome dos alimentos 1,2 e 3 , respectivamente, em sua refeição principal. Encontre um sistema linear em e cuja solução diz quantas medidas de cada alimento deve ser consumida pela pessoa para atender à dieta. Em seguida, resolva este sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma dieta precisa de 7 unidades de gordura, 9 de proteína e 16 de carboidrato, e a pessoa tem três alimentos cujas quantidades por medida são:
  • Alimento 1: 2 gordura, 2 proteína, 4 carbo
  • Alimento 2: 3 gordura, 1 proteína, 2 carbo
  • Alimento 3: 1 gordura, 3 proteína, 5 carbo
Chamamos de x,y,z o número de medidas dos alimentos 1, 2 e 3. A matéria aqui é Sistema Linear. Vamos precisar montar três equações (uma para cada nutriente) e depois resolver esse sistema por eliminação/substituição.

Passo 2

Montando as equações:
  1. Soma das gorduras:
2x + 3y + 1z = 7
  1. Soma das proteínas:
2x + 1y + 3z = 9
  1. Soma dos carboidratos:
4x + 2y + 5z = 16
Cada equação vem de “(quantidade por medida) × (nº de medidas) somado de cada alimento deve dar o total exigido”.

Passo 3

Agora vamos resolver por eliminação. Primeiro, subtraímos a equação 2 da equação 1 para eliminar x:
(2x+3y+z) - (2x+y+3z) = 7 - 9 Longrightarrow 2y - 2z = -2 Longrightarrow boxedy - z = -1
Essa é a nossa nova equação (chamo de eq.4). Aqui usei a propriedade de que podemos combinar equações para “eliminar” uma variável.

Passo 4

Com y = z -1 (eq.4), substituo em uma das originais, digamos na equação 2:
2x + (z-1) + 3z = 9 Longrightarrow 2x + 4z -1 = 9 Longrightarrow 2x + 4z = 10 Longrightarrow boxedx + 2z = 5 Longrightarrow x = 5 - 2z
Isso se chama substituição: a gente expressa uma variável em função de outra.

Passo 5

Finalmente, ponho y = z-1 e x = 5-2z na equação 3:
4(5 - 2z) + 2(z-1) + 5z = 16
Desenvolvendo:
20 - 8z + 2z - 2 + 5z = 16 Longrightarrow 18 - z = 16 Longrightarrow -z = -2 Longrightarrow boxedz = 2
Agora volto para achar x e y:
x = 5 - 2z = 5 - 2cdot2 = 1, y = z - 1 = 2 - 1 = 1

Resposta

x = 1,; y = 1,; z = 2.

Exercícios relacionados