Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
.
Passo 1
O enunciado dá o campo
com
O conteúdo é verificar se
é conservativo em
(domínio simplesmente conectado) usando a condição
e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais mistas:
Passo 3
Como
e
em todo
, concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função de
a determinar.
Passo 5
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Passo 6
Integramos
para obter
:
onde
é constante arbitrária.
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é