Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
F(x, y)=(7+y^2-3 x^2, e^y+2 x y+1).

Passo 1

O enunciado dá o campo F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) com
P(x,y) = 7 + y^2 - 3x^2, Q(x,y) = e^y + 2xy + 1
O conteúdo é verificar se F é conservativo em R^2 (domínio simplesmente conectado) usando a condição
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x,
e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial varphi(x,y) tal que
partial varphipartial x = P, partial varphipartial y = Q

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais mistas:
partial Ppartial y = partialpartial yl(7 + y^2 - 3x^2r) = 2y,
partial Qpartial x = partialpartial xl(e^y + 2xy + 1r) = 2y

Passo 3

Como partial Ppartial y=2y e partial Qpartial x=2y em todo R^2, concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a função potencial varphi(x,y), integramos P em relação a x:
varphi(x,y) = integrall(7 + y^2 - 3x^2r),dx = 7x + x,y^2 - x^3 + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 5

Derivamos varphi em relação a y e igualamos a Q:
partial varphipartial y = 2xy + h'(y) = e^y + 2xy + 1 ;Longrightarrow; h'(y) = e^y + 1

Passo 6

Integramos h'(y) para obter h(y):
h(y) = integrall(e^y + 1r),dy = e^y + y + C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é
varphi(x,y) = 7x + xy^2 - x^3 + e^y + y + C

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