Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
F(x, y, z)=(cos y+2 x y^2 z^2,-x sen y+e^z+2 y x^2 z^2, y e^z+2 y^2 x^2 z).

Passo 1

Temos o campo F(x,y,z)=(P,Q,R) com
P=cos y + 2x y^2 z^2, Q=-xsin y + e^z + 2y x^2 z^2, R=y e^z + 2y^2 x^2 z
O objetivo é verificar se F é conservativo (isto é, se existe f tal que nabla f=vec F) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f(x,y,z). Vamos usar o teste do rotacional (curl) e depois integrar componentes.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias para o curl:
partial Ppartial y=-sin y + 4x y z^2,
partial Qpartial x=-sin y + 4x y z^2,
partial Ppartial z=4x y^2 z,
partial Rpartial x=4x y^2 z,
partial Qpartial z=e^z + 4x^2 y z,
partial Rpartial y=e^z + 4x^2 y z
Como
partial Ppartial y=partial Qpartial x, partial Ppartial z=partial Rpartial x, partial Qpartial z=partial Rpartial y,
temos nablatimesvec F=0.

Passo 3

O domínio de vec F é R^3, que é simplesmente conexo. Logo, curl nulo implica que vec F é conservativo.

Passo 4

Buscamos f tal que
partial fpartial x=P=cos y +2x y^2 z^2
Integrando em x:
f(x,y,z)=xcos y + x^2 y^2 z^2 + C(y,z)

Passo 5

Impondo partial f/partial y = Q, temos
partial fpartial y=-xsin y +2x^2 y z^2 + partial Cpartial y stackrel!=-xsin y + e^z +2x^2 y z^2,
logo partial C/partial y=e^z. Integramos em y:
C(y,z)=y e^z + D(z),
então
f(x,y,z)=xcos y + x^2 y^2 z^2 + y e^z + D(z)

Passo 6

Impondo partial f/partial z = R, calcula-se
partial fpartial z =2x^2 y^2 z + y e^z + D'(z) stackrel!=y e^z +2x^2 y^2 z,
o que dá D'(z)=0. Assim D é constante.

Resposta

O campo vec F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z)=xcos y + x^2 y^2 z^2 + y e^z + constante

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