Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
.
Passo 1
Temos o campo
com
O objetivo é verificar se
é conservativo (isto é, se existe
tal que
) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
. Vamos usar o teste do rotacional (curl) e depois integrar componentes.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais necessárias para o curl:
Como
Como
temos
.
Passo 3
O domínio de
é
, que é simplesmente conexo. Logo, curl nulo implica que
é conservativo.
Passo 4
Buscamos
tal que
Integrando em :
Integrando em
Passo 5
Impondo
, temos
logo
. Integramos em
:
então
Passo 6
Impondo
, calcula-se
o que dá
. Assim
é constante.
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é