Certa doença pode ser tratada administrando pelo menos 70 unidades do medicamento C , mas este remédio pode produzir graves efeitos colaterais. Em busca de uma alternativa menos arriscada, um médico decide usar os medicamentos A e B, que não produzem efeitos colaterais se a dose combinada dos dois medicamentos for menor que 60 unidades. O médico sabe que, quando x unidades do medicamento A e y unidades do B são administradas a um paciente, o efeito é equivalente ao de administrar z unidades do medicamento C , onde
Para que doses x e y o nível equivalente z do me dicamento C é máximo?
Passo 1
O enunciado pede para maximizar o nível equivalente do medicamento C, dado por
sujeito às doses não-negativas , e à restrição de segurança . Vamos usar otimização de função de duas variáveis, encontrando primeiro o ponto crítico no interior da região viável.
Passo 2
Definimos
de modo que . Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Resolvendo o sistema
obtém-se
Passo 3
Para confirmar que esse ponto é máximo, analisamos a concavidade de . A matriz Hessiana é
Como det(H)=(-4)(-2)-1^2=7>0 e partial^2 fpartial x^2=-4<0, H é negativa definida, logo f é estritamente côncava e o ponto (30,25) é máximo global.]
Passo 4
Verificamos a restrição:
x+y = 30 + 25 = 55 < 60, x,y>=0,
portanto o ponto é viável. O valor máximo de z é
zmax = 0,05 times f(30,25) = 0,05 times 1675 = 83,75