Certa doença pode ser tratada administrando pelo menos 70 unidades do medicamento C , mas este remédio pode produzir graves efeitos colaterais. Em busca de uma alternativa menos arriscada, um médico decide usar os medicamentos A e B, que não produzem efeitos colaterais se a dose combinada dos dois medicamentos for menor que 60 unidades. O médico sabe que, quando x unidades do medicamento A e y unidades do B são administradas a um paciente, o efeito é equivalente ao de administrar z unidades do medicamento C , onde
z=0,05(x y-2 x^2-y^2+95 x+20 y)
Para que doses x e y o nível equivalente z do me dicamento C é máximo?

Passo 1

O enunciado pede para maximizar o nível equivalente z do medicamento C, dado por
z = 0,05l(xy - 2x^2 - y^2 + 95x + 20yr),
sujeito às doses não-negativas x>= 0, y>= 0 e à restrição de segurança x+y<60. Vamos usar otimização de função de duas variáveis, encontrando primeiro o ponto crítico no interior da região viável.

Passo 2

Definimos
f(x,y) = xy - 2x^2 - y^2 + 95x + 20y,
de modo que z = 0,05,f(x,y). Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial fpartial x = y - 4x + 95 = 0,
partial fpartial y = x - 2y + 20 = 0
Resolvendo o sistema
y - 4x + 95 = 0, x - 2y + 20 = 0,
obtém-se
(x,y) = (30,,25)

Passo 3

Para confirmar que esse ponto é máximo, analisamos a concavidade de f. A matriz Hessiana é
H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y[6pt] partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 = -4 & 1 1 & -2
Como det(H)=(-4)(-2)-1^2=7>0 e partial^2 fpartial x^2=-4<0, H é negativa definida, logo f é estritamente côncava e o ponto (30,25) é máximo global.]

Passo 4

Verificamos a restrição:
x+y = 30 + 25 = 55 < 60, x,y>=0,
portanto o ponto é viável. O valor máximo de z é
zmax = 0,05 times f(30,25) = 0,05 times 1675 = 83,75

Resposta

x = 30 unidades de A e y = 25 unidades de B.

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