Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
(c) sumn=1^infty 1raizn+1 cdot raizn(raizn+1+raizn)

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a série
sumn=1^infty1raizn+1,raizn,(raizn+1+raizn)
é uma série geométrica ou uma série de encaixe (telescópica) e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é o reconhecimento de séries telescópicas e a técnica de racionalização de termos gerais.

Passo 2

Escrevemos o termo genérico
an=1raizn+1,raizn,(raizn+1+raizn)
e percebemos que a presença de raizn+1+raizn no denominador sugere usar o conjugado raizn+1-raizn para obter uma diferença de raízes.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador de an por raizn+1-raizn:
an =raizn+1-raiznraizn+1,raizn,(raizn+1+raizn)(raizn+1-raizn) =raizn+1-raiznraizn+1,raizn,l((n+1)-nr) =raizn+1-raiznraizn+1,raizn
Agora dividimos cada termo:
an =raizn+1raizn+1,raizn -raiznraizn+1,raizn =1raizn-1raizn+1

Passo 4

Como
an=1raizn-1raizn+1,
temos uma série telescópica. O somatório parcial até N é
SN=sumn=1^Nan =sumn=1^Nl(1raizn-1raizn+1r) =1-1raizN+1,
pois todos os termos intermediários se cancelam.

Passo 5

Fazendo Ntoinfty em
SN=1-1raizN+1
temos 1raizN+1to0, logo
sumn=1^inftyan=1

Resposta

A série é uma série de encaixe (telescópica) e converge para 1.

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