Certa empresa utiliza em seu processo produtivo um determinado insumo. Ela costuma receber esse insumo na forma de galões que provém de 4 fornecedores ( A, B, C e D ), nas proporções de 40 %, 30 %, 20 % e 10%, respectivamente. Ocorre que o conteúdo desses galões às vezes apresenta uma característica corrosiva prejudicial à produção. Admita que esse problema ocorre: em 5 % dos galões provenientes de A, em 5 % dos galões provenientes de B, em 3 % dos galões provenientes de C e em 3 % dos galões provenientes de D. Suponha que foi aberto um galão desse insumo retirado ao acaso do estoque desta empresa.
Dado que o efeito corrosivo está presente, qual a probabilidade de que o galão tenha vindo do fornecedor A ? E de B? E de C? E de D?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma empresa que recebe insumos de quatro fornecedores diferentes (A, B, C e D) em certas proporções. Às vezes, esses insumos têm uma característica corrosiva que atrapalha a produção. A gente precisa descobrir a probabilidade de que, se abrirmos um galão corrosivo, ele venha de cada um desses fornecedores. Para resolver isso, vamos usar Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as informações que a gente tem:
  • Proporção de galões de cada fornecedor:
    • A: 40% ou 0,40
    • B: 30% ou 0,30
    • C: 20% ou 0,20
    • D: 10% ou 0,10
  • Probabilidade de um galão ser corrosivo, dado o fornecedor:
    • A: 5% ou 0,05
    • B: 5% ou 0,05
    • C: 3% ou 0,03
    • D: 3% ou 0,03

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade total de pegar um galão corrosivo. Isso é feito somando a probabilidade de cada fornecedor fornecer um galão corrosivo:
P(Corrosivo) = P(A) times P(Corrosivo | A) + P(B) times P(Corrosivo | B) + P(C) times P(Corrosivo | C) + P(D) times P(Corrosivo | D)
Substituindo os valores:
P(Corrosivo) = 0,40 times 0,05 + 0,30 times 0,05 + 0,20 times 0,03 + 0,10 times 0,03
Calculando cada termo:
P(Corrosivo) = 0,02 + 0,015 + 0,006 + 0,003 = 0,044
Então, a probabilidade total de um galão ser corrosivo é 4,4%.

Passo 4

Agora, vamos usar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de que o galão corrosivo venha de cada fornecedor. A fórmula do teorema é:
P(F | Corrosivo) = P(F) times P(Corrosivo | F)P(Corrosivo)
Onde $ F $ é o fornecedor (A, B, C ou D).

Passo 5

Aplicando o teorema para cada fornecedor:
  • Fornecedor A:
P(A | Corrosivo) = 0,40 times 0,050,044 = 0,020,044 approx 0,4545 ou 45,45%
  • Fornecedor B:
P(B | Corrosivo) = 0,30 times 0,050,044 = 0,0150,044 approx 0,3409 ou 34,09%
  • Fornecedor C:
P(C | Corrosivo) = 0,20 times 0,030,044 = 0,0060,044 approx 0,1364 ou 13,64%
  • Fornecedor D:
P(D | Corrosivo) = 0,10 times 0,030,044 = 0,0030,044 approx 0,0682 ou 6,82%

Resposta

A probabilidade de que o galão corrosivo tenha vindo de:
  • A é de aproximadamente 45,45%;
  • B é de aproximadamente 34,09%;
  • C é de aproximadamente 13,64%;
  • D é de aproximadamente 6,82%.

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