Um pesquisador esportivo possui, em seu acervo, dezenas de video-tapes com duelos entre Flamengo e Fluminense, sendo que choveu em algum momento durante 10 % destes jogos. Além disso, o Flamengo venceu 40 % dos confrontos onde ocorreu chuva e 70 % dos confrontos onde não choveu em momento algum. Se ele sorteia um desses video-tapes para ser relembrado em um programa esportivo na véspera do jogo:
qual a probabilidade dele escolher um duelo no qual choveu, se ele sabe que o Flamengo venceu?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pesquisador esportivo que tem vários vídeos de jogos entre Flamengo e Fluminense. Sabe-se que em 10% desses jogos choveu em algum momento. Além disso, quando choveu, o Flamengo venceu 40% das vezes, e quando não choveu, ele venceu 70% das vezes. A pergunta é: qual a probabilidade de o pesquisador ter escolhido um jogo que choveu, dado que o Flamengo venceu?
Aqui, vamos trabalhar com probabilidades condicionais, que é quando queremos saber a chance de um evento dado que outro já aconteceu. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • $ C $: Choveu no jogo.
  • $ F $: Flamengo venceu o jogo.
Queremos encontrar $ P(C \mid F) $, ou seja, a probabilidade de ter chovido dado que o Flamengo venceu.

Passo 3

Segundo o Teorema de Bayes:
P(C mid F) = P(F mid C) times P(C)P(F)
Vamos identificar cada parte dessa fórmula:
  • $ P(F \mid C) $: Probabilidade do Flamengo vencer dado que choveu. Isso é 40% ou 0,4.
  • $ P© $: Probabilidade de ter chovido. Isso é 10% ou 0,1.
  • $ P(F) $: Probabilidade do Flamengo vencer em geral. Precisamos calcular isso.

Passo 4

Para calcular $ P(F) $, usamos a Regra da Probabilidade Total:
P(F)
Onde:
  • $ P(F \mid \neg C) $: Probabilidade do Flamengo vencer dado que não choveu. Isso é 70% ou 0,7.
  • $ P(\neg C) $: Probabilidade de não ter chovido. Isso é 90% ou 0,9.
Então:
P(F) = P(F mid C) times P(C) + P(F mid neg C) times P(neg C)

Passo 5

Agora, voltamos ao Teorema de Bayes para encontrar $ P(C \mid F) $:
P(C mid F)

Resposta

A probabilidade de o pesquisador ter escolhido um jogo que choveu, dado que o Flamengo venceu, é de aproximadamente 5,97%.

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