O valor de
na forma de uma fração irredutível
é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com funções trigonométricas envolvendo senos e cossenos de 10° e 50°. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ y^2 $ na forma de uma fração irredutível $ \frac{a}{b} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra para resolver sistemas de equações e também entender um pouquinho sobre trigonometria, principalmente como trabalhar com senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a visualização:
Aqui, temos duas equações com duas incógnitas, $ x $ e $ y $. Nosso plano é resolver esse sistema para encontrar o valor de $ y $ e, em seguida, calcular $ y^2 $.
Passo 3
Vamos usar o método da substituição ou da eliminação para resolver o sistema. Neste caso, vamos optar pelo método da eliminação, multiplicando as equações por fatores que facilitem o cancelamento de uma das variáveis.
Primeiro, observe que podemos multiplicar a primeira equação por $ \sin{50^{\circ}} $ e a segunda equação por $ \sin{10^{\circ}} $ para igualar os coeficientes de $ x $:
Passo 4
Agora, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar $ x $:
Simplificando:
Passo 5
Utilizando a identidade trigonométrica $ \cos{A} \cdot \sin{B} + \cos{B} \cdot \sin{A} = \sin{(A+B)} $, podemos simplificar a expressão:
Sabemos que $ \sin{60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
Passo 6
Agora, vamos resolver para $ y $:
Para racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por $ \sqrt{3} $:
Passo 7
Finalmente, queremos encontrar $ y^2 $:
Simplificando a fração:
Resposta
$ b = 3 $