l x sen 10^circ-y cos 10^circ=-1sen 50^circ x sen 50^circ+y cos 50^circ=1sen 10^circ
O valor de y^2 na forma de uma fração irredutível ab é:
b=
square

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com funções trigonométricas envolvendo senos e cossenos de 10° e 50°. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ y^2 $ na forma de uma fração irredutível $ \frac{a}{b} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra para resolver sistemas de equações e também entender um pouquinho sobre trigonometria, principalmente como trabalhar com senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a visualização:
x cdot sin10^circ - y cdot cos10^circ = -1sin50^circ x cdot sin50^circ + y cdot cos50^circ = 1sin10^circ
Aqui, temos duas equações com duas incógnitas, $ x $ e $ y $. Nosso plano é resolver esse sistema para encontrar o valor de $ y $ e, em seguida, calcular $ y^2 $.

Passo 3

Vamos usar o método da substituição ou da eliminação para resolver o sistema. Neste caso, vamos optar pelo método da eliminação, multiplicando as equações por fatores que facilitem o cancelamento de uma das variáveis.
Primeiro, observe que podemos multiplicar a primeira equação por $ \sin{50^{\circ}} $ e a segunda equação por $ \sin{10^{\circ}} $ para igualar os coeficientes de $ x $:
sin50^circ

Passo 4

Agora, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar $ x $:
x
Simplificando:
(x cdot sin50^circ cdot sin10^circ + y cdot cos50^circ cdot sin10^circ) - (x cdot sin10^circ cdot sin50^circ - y cdot cos10^circ cdot sin50^circ) = 1 - (-1)

Passo 5

Utilizando a identidade trigonométrica $ \cos{A} \cdot \sin{B} + \cos{B} \cdot \sin{A} = \sin{(A+B)} $, podemos simplificar a expressão:
cosA cdot sinB + cosB cdot sinA = sin(A+B)
Sabemos que $ \sin{60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
y cdot sin(50^circ + 10^circ) = y cdot sin60^circ = 2

Passo 6

Agora, vamos resolver para $ y $:
y
Para racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por $ \sqrt{3} $:
y = 2 cdot 2raiz3 = 4raiz3

Passo 7

Finalmente, queremos encontrar $ y^2 $:
y^2
Simplificando a fração:
y^2 = ( 4 raiz33 )^2 = 16 cdot 39 = 489

Resposta

$ b = 3 $

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