Uma certa grandeza depende de 3 variáveis, a, b e c, na forma F(a, b, c)=\frac{\pi a b^{2}}{2 c^{3}}. Um aluno foi ao laboratório e mediu o valor médio de cada grandeza e respectiva incerteza, e obteve a=\bar{a}(\Delta a), b=\bar{b}(\Delta b) e c=\bar{c}(\Delta c). Neste caso, qual a incerteza relativa (ou a equação) para o valor de F ?

Passo 1

O enunciado dá uma função
F(a,b,c)=\frac{\pi\,a\,b^{2}}{2\,c^{3}}
e fornece as incertezas absolutas \Delta a, \Delta b e \Delta c para cada variável medida. O conteúdo necessário é a propagação de incertezas por derivadas parciais, para obter a incerteza relativa de F.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial a}=\frac{\pi\,b^{2}}{2\,c^{3}}, \quad \frac{\partial F}{\partial b}=\frac{\pi\,2\,a\,b}{2\,c^{3}}=\frac{\pi\,a\,b}{c^{3}}, \quad \frac{\partial F}{\partial c}=-\frac{\pi\,3\,a\,b^{2}}{2\,c^{4}}=-3\,\frac{\pi\,a\,b^{2}}{2\,c^{4}}.

Passo 3

A incerteza absoluta de F é, pela soma em quadratura,
(\Delta F)^{2} =\Bigl(\frac{\partial F}{\partial a}\,\Delta a\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\partial F}{\partial b}\,\Delta b\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\partial F}{\partial c}\,\Delta c\Bigr)^{2}.

Passo 4

Dividindo por F^{2} obtemos a incerteza relativa ao quadrado:
\Bigl(\frac{\Delta F}{F}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{\Delta a}{a}\Bigr)^{2} +4\,\Bigl(\frac{\Delta b}{b}\Bigr)^{2} +9\,\Bigl(\frac{\Delta c}{c}\Bigr)^{2}.

Resposta

\frac{\Delta F}{F} =\sqrt{\Bigl(\frac{\Delta a}{a}\Bigr)^{2} +4\,\Bigl(\frac{\Delta b}{b}\Bigr)^{2} +9\,\Bigl(\frac{\Delta c}{c}\Bigr)^{2}}.

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