Um cilindro maciço de raio
, comprimento
tem uma densidade de carga volumétrica
uniforme. Se a seção reta do cilindro é paralela ao plano
, mostre que a força que exerce o cilindro sobre uma carga localizada no ponto
é dada por
Passo 1
O enunciado pede a força sobre uma carga pontual
situada no ponto
devido a um cilindro de raio
, comprimento
e densidade volumétrica uniforme
. O cálculo se baseia em decompor o cilindro em fatias finas (discos) perpendiculares ao eixo
e usar o campo de um disco carregado no seu eixo. Em seguida aplicamos o princípio da superposição e integramos as contribuições dessas fatias.
Passo 2
Considere uma fatia de espessura
localizada em
(medido ao longo do eixo
), com carga
Esta fatia é um disco de carga superficial equivalente
. O módulo do campo elétrico gerado por um disco de raio
no seu eixo, a uma distância
, é
Aqui
é a distância do disco até o ponto
.
Passo 3
Substituindo
e
, a contribuição infinitesimal do campo no eixo é
Como todas as fatias estão alinhadas, os vetores somam ao longo de
. Logo, o campo total é
Passo 4
Separe a integral em duas partes:
Para
faça a mudança
,
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Logo
Passo 5
A força sobre
é
. Portanto