Foi designada uma tarefa para um estudante de mestrado para que ele pesquisasse na literatura o valor de uma grandeza. Ele encontrou 5 artigos e colocou na tabela os resultados:
Artigo \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3} \mathbf{4} \mathbf{5}
Valor 4,56(2) 4,555(1) 4,63(21) 4,8(8) 4,57(3)
Determine a média dos valores e a respectiva incerteza.

Passo 1

O enunciado fornece cinco valores de uma mesma grandeza, cada um com sua incerteza (entre parênteses, em unidades da última casa decimal):
\begin{aligned} x_1 &= 4,56(2)\quad\Longrightarrow\quad x_1=4,56,\;\sigma_1=0,02,\\\ x_2 &= 4,555(1)\quad\Longrightarrow\quad x_2=4,555,\;\sigma_2=0,001,\\\ x_3 &= 4,63(21)\quad\Longrightarrow\quad x_3=4,63,\;\sigma_3=0,21,\\\ x_4 &= 4,8(8)\quad\Longrightarrow\quad x_4=4,8,\;\sigma_4=0,8,\\\ x_5 &= 4,57(3)\quad\Longrightarrow\quad x_5=4,57,\;\sigma_5=0,03. \end{aligned}
Para combinar medições com incertezas diferentes, usamos a média ponderada, cujo peso de cada medida é inversamente proporcional à variância. Vamos aplicar a fórmula da média ponderada e sua incerteza.

Passo 2

Definimos os pesos
w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}\,.
Calculando cada um:
\begin{aligned} w_1 &= \frac{1}{(0,02)^2}=2500,\\\ w_2 &= \frac{1}{(0,001)^2}=1\,000\,000,\\\ w_3 &= \frac{1}{(0,21)^2}\approx22,68,\\\ w_4 &= \frac{1}{(0,8)^2}=1,5625,\\\ w_5 &= \frac{1}{(0,03)^2}\approx1111,11. \end{aligned}

Passo 3

A média ponderada é
\bar x = \frac{\sum_{i=1}^5 w_i\,x_i}{\sum_{i=1}^5 w_i}.
Calculando o denominador e o numerador:
\sum_i w_i \approx1\,003\,635,35,\quad \sum_i w_i x_i \approx4\,571\,592,06.
Então
\bar x \approx \frac{4\,571\,592,06}{1\,003\,635,35}\approx4,55503.

Passo 4

A incerteza da média ponderada é
\sigma_{\bar x} = \sqrt{\frac{1}{\sum_{i=1}^5 w_i}} \approx\sqrt{\frac{1}{1\,003\,635,35}}\approx0,0010.

Resposta

A média final, com sua incerteza, fica
\boxed{4,555(1)}.

Exercícios relacionados