Em uma certa instalação industrial, acidentes acontecem com baixa frequência. Sabe-se que a probabilidade de um acidente ocorrer em um certo dia é de 0.005 e que os acidentes são independentes. Qual a probabilidade de que, em um período de 400 dias, ocorra
a) No máximo 3 acidentes?
b) Pelo menos 3 acidentes?
c) Calcule está distribuição usando Binomial e Poisson e compare os resultados.

Passo 1

O enunciado diz que, em cada dia, ocorre um acidente com probabilidade p = 0,005, de modo independente, e queremos o número de acidentes em n = 400 dias. Vamos usar o modelo exato
Xsim Bin(n=400,p=0,005)
e a aproximação de Poisson
Ysim Pois(lambda=np=400cdot0,005=2)
para calcular
a) Pr(,cdot,<=3),
b) Pr(,cdot,>=3),
e, em c), comparar os resultados.

Passo 2

Para XsimBin(400,0,005) vale
Pr(X=k)=binom400k(0,005)^k(0,995)^400-k
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Pr(X<=3) =sumk=0^3binom400k(0,005)^k(0,995)^400-k,
Pr(X>=3) =1-sumk=0^2binom400k(0,005)^k(0,995)^400-k
Calculando numericamente cada termo (usando, por exemplo, uma calculadora estatística), obtemos
Pr(X<=3)approx0,854
e
Pr(X>=3)approx0,326.

Passo 3

Para YsimPois(2) temos
Pr(Y=k)=e^-22^kk!
Assim
Pr(Y<=3) =sumk=0^3e^-22^kk! approx0,8571,
Pr(Y>=3) =1-sumk=0^2e^-22^kk! approx0,3233

Passo 4

Comparando os dois modelos, vemos que
Pr(X<=3)=0,854 vs.\ Pr(Y<=3)=0,857
e
Pr(X>=3)=0,326 vs.\ Pr(Y>=3)=0,323.
As diferenças são muito pequenas porque p é pequeno e n é grande, condição em que a aproximação de Poisson funciona bem.

Resposta

a) Binomial: 0,854; Poisson: 0,857.
b) Binomial: 0,326; Poisson: 0,323.
c) Os valores são muito próximos, mostrando que a aproximação de Poisson é adequada neste caso.

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