Considere uma v.a.c X com f.d.p dada por
f(x)=l 2 x, se 0<x<1 0, caso contrário á
a) Determine a f.d.a F(x).
b) Use a função F(x) para calcular P(1 / 2<x<3) e P(x>1 / 2).

Passo 1

O enunciado diz que
Pede (a) a função de distribuição acumulada e . Vamos usar a definição
e depois aplicar para calcular as probabilidades.

Passo 2

Para determinar F(x) consideramos três regiões de x:
  1. Se x<=0, não há massa acumulada, logo
F(x)=0
  1. Se 0<x<1, acumulamos a densidade de 0 até x:
F(x)=integral0^x2t,dt =l[t^2r]0^x =x^2
  1. Se x>=1, toda a massa (que integra 1) já foi somada, então
F(x)=1

Passo 3

Em resumo,
F(x)= 0, & x<=0, x^2, & 0<x<1, 1, & x>=1

Passo 4

Para P(tfrac12<X<3) usamos
Pl(tfrac12<X<3r)=F(3)-Fl(tfrac12r)
Como 3>=1 temos F(3)=1, e
Fl(tfrac12r)=l(tfrac12r)^2=tfrac14
Logo
Pl(tfrac12<X<3r)=1-tfrac14=tfrac34

Passo 5

Para P(X>tfrac12) aplicamos
P(X>a)=1-F(a),
com a=tfrac12. Então
Pl(X>tfrac12r)=1-Fl(tfrac12r) =1-tfrac14 =tfrac34

Resposta

(a)
F(x)= 0, & x<=0, x^2, & 0<x<1, 1, & x>=1
(b) P(tfrac12<X<3)=tfrac34 e P(X>tfrac12)=tfrac34.

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