O tempo de produção de uma peça em minutos é uma v.a.c
a) Mostre que (f(x)] é uma f.d.p.
b) Calcule a probabilidade de que o tempo de produção de uma peça escolhida ao acaso seja menor que 3 minutos.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma v.a.c. X cujo tempo de produção, em minutos, é descrito pela função densidade
f(x)= 5-x4,&2<x<4, 0,&caso contrário á
O conteúdo da matéria aqui é verificação de função densidade de probabilidade (f.d.p.) e cálculo de probabilidade de evento via integração da densidade.

Passo 2

Para mostrar que f(x) é uma f.d.p. devemos verificar:
(i) Não-negatividade: em 2<x<4 temos 5-x>0 logo f(x)>0; para x<=2 ou x>=4, f(x)=0, então f(x)>=0 em todo o domínio.
(ii) Integral unitária: como f(x)=0 fora de (2,4),
integral-infty^inftyf(x),dx =integral2^45-x4,dx =14gl[5x-x^22gr]2^4 =14l[(20-8)-(10-2)r] =44 =1
Como a área total é 1, f(x) satisfaz as condições de f.d.p.

Passo 3

Para calcular P(X<3), note que f(x)=0 para x<=2, então
P(X<3) =integral-infty^3f(x),dx =integral2^35-x4,dx =14gl[5x-x^22gr]2^3 =14l[(15-4,5)-(10-2)r] =2,54 =58

Resposta

(a) f(x) é função densidade de probabilidade pois é não-negativa e integral-infty^inftyf(x),dx=1.
(b) P(X<3)=58

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