Certa liga é formada pela mistura fundida de dois metais. A liga resultante contém certa porcentagem de chumbo, X, que pode ser considerada uma v.a. com f.d.p.
f(x)= 35 10^-5 x(100-x), & 0 <= x <= 100 0, & cc
Suponha que L, o lucro líquido obtido na venda dessa liga (por unidade de peso), seja dado por L=C1+C2 X. Calcule E(L), o lucro esperado por unidade.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: a gente tem uma liga de dois metais onde a porcentagem de chumbo é uma v.a. f(x)= dfrac35,10^-5,x,(100-x), & 0<= x<=100, 0, & caso contrário com densidade
E(L)=E(C1 + C2X)=C1 + C2,E(X) á
O lucro por unidade de peso é . A gente precisa achar o lucro esperado .
Conteúdo envolvido: valor esperado de v.a. contínua e linearidade do valor esperado. Vamos usar que

Passo 2

Primeiro a gente calcula E(X)=integral-infty^infty x,f(x),dx =integral0^100 x;l(tfrac3510^-5x(100-x)r),dx =tfrac3510^-5integral0^100 x^2(100-x),dx . Por definição,
integral0^100(100x^2 - x^3),dx =100integral0^100x^2,dx ;-;integral0^100x^3,dx
Então vamos resolver 100cdot100^33 ;-;100^44 =100^43 - 100^44 =100^4l(13-14r) =100^4cdot112 =10^812 =8,333,333times10^6 :
  1. Escreve dentro do integral: E(X) =35,10^-5times8,333,333times10^6 =35times83,333,33 =50 .
  2. Então
  1. Sabemos que e .
    Avaliando de 0 a 100:
  2. Então

Passo 3

Agora que a gente tem E(L)=C1 + C2,E(X) = C1 + C2cdot50 , usamos a linearidade:

Resposta

boxedE(L)=C1 + 50,C2

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