Numa certa linha de produção, o número de peças produzidas segue um processo de Poisson, com média de três horas por cada peça. Seja X o tempo em horas para produzir 15 peças.
Qual a probabilidade de 36 ? (Utilize a aproximação pela normal na Poisson).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre uma linha de produção onde o número de peças produzidas segue um processo de Poisson. A média é de três horas para cada peça. A gente precisa encontrar a probabilidade de que o tempo X para produzir 15 peças esteja entre 36 e 60 horas, usando uma aproximação normal para a Poisson. Vamos precisar entender um pouco sobre processos de Poisson e aproximação pela distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um processo de Poisson aqui. Um processo de Poisson modela eventos que acontecem de forma aleatória no tempo, com uma taxa média constante. No nosso caso, a taxa média é de uma peça a cada três horas. Então, a taxa lambda por hora é lambda = 13 peças por hora.

Passo 3

Queremos saber o tempo X para produzir 15 peças. Em um processo de Poisson, o tempo para produzir n peças segue uma distribuição conhecida como distribuição Erlang (uma forma da distribuição gama). Mas como a questão pede para usarmos a aproximação pela normal, vamos aplicar o Teorema Central do Limite, que permite aproximar distribuições somadas como a Erlang por uma normal quando o número de eventos é grande.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) do tempo X para produzir 15 peças.
A média do tempo para produzir uma peça é 3 horas, então para 15 peças:
mu = n times média por peça = 15 times 3 = 45 horas éç
O desvio padrão para o tempo total é:
sigma = raizn times desvio padrão por peça = raiz15 times 3 approx 11.62 horas ãç

Passo 5

Agora, usando a aproximação normal, podemos dizer que X segue aproximadamente uma distribuição normal com média 45 horas e desvio padrão 11.62 horas, ou seja:
X sim N(45, 135)
Aqui, 135 é a variância ( sigma^2).

Passo 6

Queremos encontrar a probabilidade de que X esteja entre 36 e 60 horas:
P(36 < X < 60)
Para calcular isso, precisamos padronizar esses valores usando a transformação de z:
Z = X - musigma
Então,
Z1 = 36 - 4511.62 approx -0.77
Z2 = 60 - 4511.62 approx 1.29

Passo 7

Agora, buscamos na tabela da distribuição normal padrão os valores correspondentes a Z1 e Z2.
Usando a tabela ou uma calculadora:
P(Z < 1.29) approx 0.9015
P(Z < -0.77) approx 0.2206

Passo 8

A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(-0.77 < Z < 1.29) = P(Z < 1.29) - P(Z < -0.77) approx 0.9015 - 0.2206 = 0.6809

Resposta

A probabilidade de que o tempo X para produzir 15 peças esteja entre 36 e 60 horas é aproximadamente 68,09%.

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