Numa certa linha de produção, o número de peças produzidas segue um processo de Poisson, com média de três horas por cada peça. Seja
o tempo em horas para produzir 15 peças.
Qual a probabilidade de
? (Utilize a aproximação pela normal na Poisson).
Qual a probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre uma linha de produção onde o número de peças produzidas segue um processo de Poisson. A média é de três horas para cada peça. A gente precisa encontrar a probabilidade de que o tempo
para produzir 15 peças esteja entre 36 e 60 horas, usando uma aproximação normal para a Poisson. Vamos precisar entender um pouco sobre processos de Poisson e aproximação pela distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um processo de Poisson aqui. Um processo de Poisson modela eventos que acontecem de forma aleatória no tempo, com uma taxa média constante. No nosso caso, a taxa média é de uma peça a cada três horas. Então, a taxa
por hora é
peças por hora.
Passo 3
Queremos saber o tempo
para produzir 15 peças. Em um processo de Poisson, o tempo para produzir
peças segue uma distribuição conhecida como distribuição Erlang (uma forma da distribuição gama). Mas como a questão pede para usarmos a aproximação pela normal, vamos aplicar o Teorema Central do Limite, que permite aproximar distribuições somadas como a Erlang por uma normal quando o número de eventos é grande.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
) do tempo
para produzir 15 peças.
A média do tempo para produzir uma peça é 3 horas, então para 15 peças:
O desvio padrão para o tempo total é:
Passo 5
Agora, usando a aproximação normal, podemos dizer que
segue aproximadamente uma distribuição normal com média 45 horas e desvio padrão 11.62 horas, ou seja:
Aqui,
é a variância (
).
Passo 6
Queremos encontrar a probabilidade de que
esteja entre 36 e 60 horas:
Para calcular isso, precisamos padronizar esses valores usando a transformação de z:
Então,
Passo 7
Agora, buscamos na tabela da distribuição normal padrão os valores correspondentes a
e
.
Usando a tabela ou uma calculadora:
Passo 8
A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de que o tempo
para produzir 15 peças esteja entre 36 e 60 horas é aproximadamente
.