(Devore e Cordeiro, 2014) Seja
. Calcule cada uma das probabilidades a seguir, usando a aproximação normal (com correção de continuidade) para os casos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a probabilidade de que uma variável aleatória $ X $, que segue uma distribuição binomial com $ n = 25 $ tentativas e uma probabilidade de sucesso $ p $, seja maior ou igual a 20. Vamos fazer isso usando a aproximação normal com correção de continuidade para os casos em que $ p = 0,5 $ e $ p = 0,8 $. Para isso, vamos precisar entender a distribuição binomial e como aproximá-la por uma normal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a distribuição binomial. Ela descreve o número de sucessos em $ n $ tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso $ p $. A média $ \mu $ e o desvio padrão $ \sigma $ dessa distribuição são dados por:
Como $ n = 25 $, vamos calcular $ \mu $ e $ \sigma $ para cada valor de $ p $.
Passo 3
Para $ p = 0,5 $:
Passo 4
Para $ p = 0,8 $:
Passo 5
Agora, vamos usar a aproximação normal para calcular $ P(X \geq 20) $. Para isso, aplicamos a correção de continuidade. A probabilidade $ P(X \geq 20) $ na distribuição binomial é aproximada por $ P(X \geq 19,5) $ na distribuição normal.
A fórmula para padronizar é:
Passo 6
Primeiro, para $ p = 0,5 $:
Queremos calcular $ P(X \geq 20) $, então usamos:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, $ P(Z \geq 2,8) $ é aproximadamente 0,0026.
Passo 7
Agora, para $ p = 0,8 $:
Aqui, $ \mu = 20 $ e $ \sigma = 2 $. Aplicando a correção de continuidade:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, $ P(Z \geq -0,25) $ é aproximadamente 0,5987.
Resposta
Usando a aproximação normal com correção de continuidade:
- Para $ p = 0,5 $, $ \mathbf{P}(X \geq 20) \approx 0,26% $.
- Para $ p = 0,8 $, $ \mathbf{P}(X \geq 20) \approx 59,87% $.