Um pesquisador estuda uma população de 2000 plantas numa floresta, onde 500 são de uma espécie rara e o restante pertence a outras espécies. Ele deseja coletar uma amostra de 30 plantas para estudo genético. Considere a variável
número de plantas da espécie rara na amostra.
Podemos utilizar a aproximação pela normal para calcular as probabilidades dessa variável aleatória?
Podemos utilizar a aproximação pela normal para calcular as probabilidades dessa variável aleatória?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um pesquisador que está estudando 2000 plantas numa floresta. Dessas, 500 são de uma espécie rara e as outras 1500 são de outras espécies. Ele quer pegar uma amostra de 30 plantas para fazer estudos genéticos. A variável
representa o número de plantas da espécie rara nessa amostra. A dúvida é: dá para usar a aproximação normal para calcular as probabilidades dessa variável?
Nesse problema, estamos lidando com estatística, especificamente com distribuição hipergeométrica. Para resolver, precisamos entender quando podemos aproximar essa distribuição por uma normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição hipergeométrica é usada quando estamos selecionando uma amostra sem reposição de uma população finita. No nosso caso, estamos escolhendo 30 plantas de um total de 2000, sem colocar de volta as que já foram escolhidas.
A aproximação normal é útil quando a distribuição original é complicada, mas queremos uma maneira mais simples de calcular probabilidades. Para usar a aproximação normal, geralmente precisamos que a distribuição seja simétrica e que o tamanho da amostra seja grande o suficiente.
Passo 3
Para verificar se podemos usar a aproximação normal, vamos verificar algumas condições:
- Tamanho da população (N): 2000 plantas.
- Número de sucessos na população (K): 500 plantas raras.
- Tamanho da amostra (n): 30 plantas.
Precisamos checar se ambos
vezes a proporção de sucesso (
) e
vezes a proporção de falha (
) são maiores ou iguais a 10. Isso ajuda a garantir que a distribuição seja aproximadamente simétrica.
Passo 4
Vamos calcular:
- Proporção de plantas raras na população:
- Proporção de plantas não raras:
Agora, multiplicamos pelo tamanho da amostra:
Passo 5
Agora, avaliamos os resultados:
-
que é menor que 10. -
que é maior que 10.
A regra geral sugere que ambos os valores devem ser maiores ou iguais a 10 para usar a aproximação normal de forma confiável. No nosso caso, apenas um dos valores atende esse critério.
Passo 6
Além disso, como a amostra é uma parte significativa da população (30 de 2000 é 1,5%), a correção para amostras finitas pode ser necessária, complicando ainda mais a aproximação.
Dado que
é menor que 10, a distribuição de
pode não ser suficientemente simétrica para que a aproximação normal seja adequada.
Resposta
Não, não podemos utilizar a aproximação pela normal para calcular as probabilidades dessa variável aleatória, pois a condição
é menor que 10, tornando a distribuição inadequadamente simétrica para essa aproximação.