Uma certa mola não obedece à lei de Hooke; ao ser comprimida ou esticada, ela exerce uma força restauradora com módulo F_{x}=-\alpha x-\beta x^{2}, onde \alpha=60,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e \beta=18,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. A massa da mola é desprezivel. Em um instante, um objeto, que pode ser considerado uma partícula, sofre a açăo de uma força \vec{F}=(4,0 N) \hat{i}-(2,0 N) \hat{j}+(9,0 N) \hat{k}, enquanto possui uma velocidade \vec{v}=1 -(2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \bar{i}+(4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \bar{k}. Qual a taxa instantanea com que a força realiza trabalho sobre o objeto?

Passo 1

O enunciado dá uma força aplicada
\vec F = (4,0\mathrm{~N})\hat\imath +(-2,0\mathrm{~N})\hat\jmath +(9,0\mathrm{~N})\hat k
e uma velocidade
\vec v =(-2,0\mathrm{~m/s})\hat\imath + (0)\hat\jmath + (4,0\mathrm{~m/s})\hat k,
e pede a taxa instantânea de trabalho, isto é, a potência instantânea.

Passo 2

A potência instantânea P é dada pelo produto escalar entre força e velocidade:
P = \vec F \cdot \vec v.

Passo 3

Escrevendo o produto escalar em componentes, temos
P = F_x\,v_x + F_y\,v_y + F_z\,v_z.

Passo 4

Substituindo os valores:
P = (4,0)(-2,0) + (-2,0)(0) + (9,0)(4,0) = -8,0 + 0 + 36,0 = 28,0.

Resposta

A taxa instantânea de trabalho é 28,0\mathrm{~W}.

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