1^{\text {a }} Questão (Valor: 3,33 pontos) - Responda às questōes abaixo apresentadas:
Um corpo oscila com um MHS ao longo do eixo dos x. O seu deslocamento varia com o tempo de acordo com a equação:
x=(3,5 m) \cos \left(\pi t+\frac{\pi}{3}\right)
(i) Determine: Amplitude, frequência, Período do movimento e constante de fase;
(ii) Derive as equações para velocidade e aceleração do movimento;
(iii) Calcule o deslocamento, velocidade e aceleração para \mathrm{t}=5,0 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá o movimento harmônico simples (MHS)
x = (3,5\:\mathrm{m})\cos\bigl(\pi t + \tfrac{\pi}{3}\bigr)
e pede:
  1. Amplitude A, frequência f, período T e constante de fase \varphi.
  2. Equações de velocidade v(t) e aceleração a(t).
  3. Valores de x, v e a em t=5,0\:\mathrm{s}.

Passo 2

Identificamos da forma geral x=A\cos(\omega t+\varphi):
A = 3,5\:\mathrm{m},\qquad \omega = \pi\:\mathrm{rad/s},\qquad \varphi = \tfrac{\pi}{3}.
A frequência é
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi}{2\pi} = 0,5\:\mathrm{Hz},
e o período
T = \frac{1}{f} = 2,0\:\mathrm{s}.

Passo 3

Derivando em relação a t:
v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\,\omega\,\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr) = -\bigl(3,5\:\mathrm{m}\bigr)\,\pi\,\sin\!\bigl(\pi t + \tfrac{\pi}{3}\bigr),
e em seguida
a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\,\omega^2\,\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr) = -\bigl(3,5\:\mathrm{m}\bigr)\,\pi^2\,\cos\!\bigl(\pi t + \tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 4

Em t=5,0\:\mathrm{s} o argumento é
\pi\cdot5 + \tfrac{\pi}{3} = 5\pi + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{16\pi}{3},
e como
\cos\!\bigl(\tfrac{16\pi}{3}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\tfrac12, \quad \sin\!\bigl(\tfrac{16\pi}{3}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\tfrac{\sqrt3}{2},
temos
x(5,0) = 3,5\,\bigl(-\tfrac12\bigr) = -1,75\:\mathrm{m},
v(5,0) = -3,5\,\pi\,\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) = \frac{3,5\,\pi\,\sqrt3}{2} \approx 9,52\:\mathrm{m/s},
a(5,0) = -3,5\,\pi^2\,\Bigl(-\tfrac12\Bigr) = \frac{3,5\,\pi^2}{2} \approx 17,27\:\mathrm{m/s^2}.

Resposta

Amplitude: A=3,5\:\mathrm{m}
Frequência: f=0,5\:\mathrm{Hz}
Período: T=2,0\:\mathrm{s}
Constante de fase: \varphi=\tfrac{\pi}{3}
Equações:
v(t) = -3,5\,\pi\,\sin\!\bigl(\pi t + \tfrac{\pi}{3}\bigr)\quad(\mathrm{m/s}),
a(t) = -3,5\,\pi^2\,\cos\!\bigl(\pi t + \tfrac{\pi}{3}\bigr)\quad(\mathrm{m/s^2}).
Em t=5,0\:\mathrm{s}:
x = -1,75\:\mathrm{m},\quad v \approx 9,52\:\mathrm{m/s},\quad a \approx 17,27\:\mathrm{m/s^2}.

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