Uma certa mola tem comprimento natural de 16 cm . Quando ela é esticada x cm além do seu comprimento natural , a lei de Hooke estabelece que a mola faz retroceder com um força de restituição de módulo \mathrm{F}=\mathrm{kx} \mathrm{N}, onde k é uma constante. A constante de proporcionalidade k chama-se constante elástica da mola e pode ser encarada com uma medida da inflexibilidade da mola, Para a mola em discussão, 8 N de força são necessários para mantê-la esticada 2cm. Quanto trabalho é realizado para esticar essa mola de seu comprimento natural para um comprimento de 24 cm ? 13)De acordo com a lei de Gravitação de Newton duas partículas quaisquer de massa M e m se atraem com uma força F cuja grandeza é diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre elas. Sendo G a constante de gravitação , e sabendo que M está fixado na origem qual o trabalho exigido para mover m de \mathrm{r}=\mathrm{a} até \mathrm{r}=\mathrm{b}, onde \mathrm{a}<\mathrm{b} ? Qual o trabalho realizado para mover m de \mathrm{r}=\mathrm{a} até uma distância infinita?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (vou separar em duas partes, uma para a mola e outra para a gravitação, listando o que é pedido e o que o enunciado dá).
Parte mola:
  • A mola tem comprimento natural 16\\ \text{cm}.
  • Quando a mola é esticada x cm além do seu comprimento natural, a força de restituição tem módulo \mathrm{F}=\mathrm{kx}\\ \mathrm{N}, onde k é a constante elástica.
  • O enunciado diz que 8\\ \mathrm{N} são necessários para mantê-la esticada 2\\ \text{cm}. (Dado: F(2\\ \text{cm})=8\\ \mathrm{N}.)
  • Pergunta: quanto trabalho é realizado para esticar a mola do comprimento natural até comprimento 24\\ \text{cm}? (Ou seja: esticar de 16\\ \text{cm} para 24\\ \text{cm}, correspondente a um alongamento de 8\\ \text{cm}.)
Parte gravitação:
  • Lei de Newton: duas massas M e m se atraem com força cujo módulo é diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre elas. A constante é G.
  • Com M fixo na origem, a força gravitacional sobre m a uma distância r tem módulo \dfrac{G M m}{r^{2}} e é dirigida para a origem.
  • Pergunta 1: qual o trabalho exigido para mover m de r=a até r=b, com a<b? (Interpreto “trabalho exigido” como o trabalho que o agente externo deve realizar para deslocá-la lentamente contra a atração gravitacional.)
  • Pergunta 2: qual o trabalho realizado para mover m de r=a até r=\infty?

Passo 2

Entendendo o conceito técnico-importantinho: trabalho quando a força varia com a posição.
  • Se uma força variável ao longo de uma reta tem componente F(x) (na direção do deslocamento), o trabalho para deslocar do ponto x_1 até x_2 é a integral
W=\int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx.
Explicando: imagine somar pequenas contribuições F(x)\,dx ao longo do caminho; esse é o fundamento do cálculo para trabalho. Aqui cada símbolo significa: W é o trabalho (unidade SI: joule), F(x) é a força em newtons aplicada ao longo da direção do deslocamento no ponto x, e x é a coordenada de posição (em metros).

Passo 3

Aplicando isso à mola: determinar primeiro a constante elástica k.
  • Temos do enunciado que para alongamento 2\\ \text{cm} a força é 8\\ \mathrm{N}. Em fórmula:
8 = k\cdot 2\\ \text{(unidade de comprimento)}.
  • Atenção às unidades: é mais conveniente trabalhar no SI. Converto centímetros para metros: 2\\ \text{cm}=0,02\\ \text{m}. Então
8 = k\cdot 0,02,
logo
k=\frac{8}{0,02}=400\\ \mathrm{N/m}.
Explicação didática: k mede o quanto a força cresce por metro de alongamento. Aqui dá 400\\ \mathrm{N} para cada metro que se estica.

Passo 4

Calcular o trabalho para esticar a mola do comprimento natural até 24\\ \text{cm}.
  • O alongamento inicial x_1=0 (na posição natural) e o alongamento final x_2=24-16=8\\ \text{cm}=0,08\\ \text{m}.
  • A força necessária para manter a mola esticada uma pequena distância x além do natural tem módulo F(x)=k x (direção oposta ao alongamento, mas se calculamos o trabalho realizado pela força externa que estica, usamos a componente na direção do deslocamento). O trabalho realizado pela força externa para deslocar de 0 a 0,08\\ \text{m} é
W_{\text{mola}}=\int_{0}^{0,08} k x\,dx.
  • Calculando a integral (fórmula básica: \int x\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2}):
W_{\text{mola}}=k\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{0,08}=\tfrac{1}{2}k(0,08)^{2}.
  • Substituindo k=400\\ \mathrm{N/m}:
W_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}\cdot 400\cdot (0,08)^{2}.
  • Calcule passo a passo: (0,08)^{2}=0,0064. Multiplicando 400\cdot 0,0064=2,56. Metade disso é 1,28. Portanto
W_{\text{mola}}=1,28\\ \text{J}.
Verificação alternativa curta (opcional): se tivesse mantido unidades em \text{cm}, k=4\\ \mathrm{N/cm} e x=8\\ \text{cm} daria W=\tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 8^{2}=128\\ \mathrm{N\cdot cm}=1,28\\ \mathrm{N\cdot m}=1,28\\ \text{J}.

Passo 5

Agora a parte da gravitação: descrição da força e como usar a integral de trabalho.
  • A força gravitacional (vetorial) exercida sobre m por M fixo na origem é dirigida para a origem e tem módulo
F(r)=\frac{G M m}{r^{2}}.
  • Tomando a coordenada radial r positiva para fora, o vetor força é -\dfrac{G M m}{r^{2}}\hat{r}. Um deslocamento radial infinitesimal exteriores é d\mathbf{r}=dr\,\hat{r}. Assim o produto escalar força·deslocamento é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\frac{G M m}{r^{2}}\,dr.
Explicando: o sinal negativo aparece porque a força puxa para dentro, enquanto o deslocamento considerado (aumentando r) é para fora; portanto a força e o deslocamento têm sentidos opostos.

Passo 6

Calcular o trabalho realizado pela força gravitacional quando o corpo vai de r=a até r=b.
  • Usando a expressão anterior,
W_{\text{grav}}=\int_{r=a}^{r=b} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\!\left(-\frac{G M m}{r^{2}}\right)\,dr.
  • Efetuando a integral (lembrando que \int r^{-2}dr=-r^{-1}):
W_{\text{grav}}=-G M m\int_{a}^{b} r^{-2}\,dr=-G M m\left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{b}.
  • Avaliando:
W_{\text{grav}}=-G M m\left(-\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)=G M m\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right).
Observação sobre o sinal: como b>a, temos 1/b<1/a, logo W_{\text{grav}}<0. Isso significa que a força gravitacional realiza trabalho negativo quando o corpo é levado para fora (ela está se opondo ao movimento).

Passo 7

Calcular o trabalho exigido ao agente externo (o que é normalmente pedido quando se fala em "trabalho exigido para mover m de a para b").
  • Se o trabalho realizado pela gravidade é W_{\text{grav}}, o trabalho que o agente externo deve fazer, no movimento lento/quase-estático, é o negativo disso:
W_{\text{ext}}=-W_{\text{grav}}=-G M m\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)=G M m\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Explicação: mover algo contra uma força conservativa (a gravidade aqui) exige energia igual à diferença de energia potencial; o trabalho do agente compensa (com sinal oposto) o trabalho realizado pela força conservativa.

Passo 8

Caso particular: mover m de r=a até r=\infty.
  • Tomamos o limite b\to\infty na expressão do trabalho do agente:
W_{\text{ext}}(a\to\infty)=\lim_{b\to\infty} G M m\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=G M m\left(\frac{1}{a}-0\right)=\frac{G M m}{a}.
Interpretação física: essa é precisamente a energia que se precisa fornecer para levar a massa m até o infinito (isto é, para vencer a atração de M) — é também a energia potencial gravitacional absoluta, se tomarmos potencial zero no infinito.

Passo 9

Resumo final dos resultados (preparando a resposta final compacta):
  • Trabalho para esticar a mola de 16\\ \text{cm} para 24\\ \text{cm}: 1,28\\ \text{J}.
  • Trabalho exigido ao mover m de r=a até r=b: G M m\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right).
  • Trabalho exigido ao mover m de r=a até r=\infty: \dfrac{G M m}{a}.

Resposta

W_{\text{mola}}=1,28\\ \text{J}\n
W_{\text{ext}}(a\to b)=G M m\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)\n
W_{\text{ext}}(a\to\infty)=\dfrac{G M m}{a}

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