Uma certa mola tem comprimento natural de 16 cm . Quando ela é esticada x cm além do seu comprimento natural , a lei de Hooke estabelece que a mola faz retroceder com um força de restituição de módulo
, onde k é uma constante. A constante de proporcionalidade k chama-se constante elástica da mola e pode ser encarada com uma medida da inflexibilidade da mola, Para a mola em discussão, 8 N de força são necessários para mantê-la esticada 2cm. Quanto trabalho é realizado para esticar essa mola de seu comprimento natural para um comprimento de 24 cm ? 13)De acordo com a lei de Gravitação de Newton duas partículas quaisquer de massa M e m se atraem com uma força F cuja grandeza é diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre elas. Sendo G a constante de gravitação , e sabendo que M está fixado na origem qual o trabalho exigido para mover m de
até
, onde
? Qual o trabalho realizado para mover m de
até uma distância infinita?
Passo 1
Enunciado e dados importantes (vou separar em duas partes, uma para a mola e outra para a gravitação, listando o que é pedido e o que o enunciado dá).
Parte mola:
- A mola tem comprimento natural
. - Quando a mola é esticada
cm além do seu comprimento natural, a força de restituição tem módulo , onde é a constante elástica. - O enunciado diz que
são necessários para mantê-la esticada . (Dado: .) - Pergunta: quanto trabalho é realizado para esticar a mola do comprimento natural até comprimento
? (Ou seja: esticar de para , correspondente a um alongamento de .)
Parte gravitação:
- Lei de Newton: duas massas
e se atraem com força cujo módulo é diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A constante é . - Com
fixo na origem, a força gravitacional sobre a uma distância tem módulo e é dirigida para a origem. - Pergunta 1: qual o trabalho exigido para mover
de até , com ? (Interpreto “trabalho exigido” como o trabalho que o agente externo deve realizar para deslocá-la lentamente contra a atração gravitacional.) - Pergunta 2: qual o trabalho realizado para mover
de até ?
Passo 2
Entendendo o conceito técnico-importantinho: trabalho quando a força varia com a posição.
- Se uma força variável ao longo de uma reta tem componente
(na direção do deslocamento), o trabalho para deslocar do ponto até é a integral
Explicando: imagine somar pequenas contribuições
ao longo do caminho; esse é o fundamento do cálculo para trabalho. Aqui cada símbolo significa:
é o trabalho (unidade SI: joule),
é a força em newtons aplicada ao longo da direção do deslocamento no ponto
, e
é a coordenada de posição (em metros).
Passo 3
Aplicando isso à mola: determinar primeiro a constante elástica
.
- Temos do enunciado que para alongamento
a força é . Em fórmula:
- Atenção às unidades: é mais conveniente trabalhar no SI. Converto centímetros para metros:
. Então
logo
Explicação didática:
mede o quanto a força cresce por metro de alongamento. Aqui dá
para cada metro que se estica.
Passo 4
Calcular o trabalho para esticar a mola do comprimento natural até
.
- O alongamento inicial
(na posição natural) e o alongamento final . - A força necessária para manter a mola esticada uma pequena distância
além do natural tem módulo (direção oposta ao alongamento, mas se calculamos o trabalho realizado pela força externa que estica, usamos a componente na direção do deslocamento). O trabalho realizado pela força externa para deslocar de a é
- Calculando a integral (fórmula básica:
):
- Substituindo
:
- Calcule passo a passo:
. Multiplicando . Metade disso é . Portanto
Verificação alternativa curta (opcional): se tivesse mantido unidades em
,
e
daria
.
Passo 5
Agora a parte da gravitação: descrição da força e como usar a integral de trabalho.
- A força gravitacional (vetorial) exercida sobre
por fixo na origem é dirigida para a origem e tem módulo
- Tomando a coordenada radial
positiva para fora, o vetor força é . Um deslocamento radial infinitesimal exteriores é . Assim o produto escalar força·deslocamento é
Explicando: o sinal negativo aparece porque a força puxa para dentro, enquanto o deslocamento considerado (aumentando
) é para fora; portanto a força e o deslocamento têm sentidos opostos.
Passo 6
Calcular o trabalho realizado pela força gravitacional quando o corpo vai de
até
.
- Usando a expressão anterior,
- Efetuando a integral (lembrando que
):
- Avaliando:
Observação sobre o sinal: como
, temos
, logo
. Isso significa que a força gravitacional realiza trabalho negativo quando o corpo é levado para fora (ela está se opondo ao movimento).
Passo 7
Calcular o trabalho exigido ao agente externo (o que é normalmente pedido quando se fala em "trabalho exigido para mover
de
para
").
- Se o trabalho realizado pela gravidade é
, o trabalho que o agente externo deve fazer, no movimento lento/quase-estático, é o negativo disso:
Explicação: mover algo contra uma força conservativa (a gravidade aqui) exige energia igual à diferença de energia potencial; o trabalho do agente compensa (com sinal oposto) o trabalho realizado pela força conservativa.
Passo 8
Caso particular: mover
de
até
.
- Tomamos o limite
na expressão do trabalho do agente:
Interpretação física: essa é precisamente a energia que se precisa fornecer para levar a massa
até o infinito (isto é, para vencer a atração de
) — é também a energia potencial gravitacional absoluta, se tomarmos potencial zero no infinito.
Passo 9
Resumo final dos resultados (preparando a resposta final compacta):
- Trabalho para esticar a mola de
para : . - Trabalho exigido ao mover
de até : . - Trabalho exigido ao mover
de até : .