1. Uma certa onda transversal é descrita por:
y(x, t)=(6,5 \mathrm{~mm}) \cos 2 \pi\left(\frac{x}{28 \mathrm{~cm}}-\frac{t}{0,0360 \mathrm{~s}}\right)
Determine para esta onda
o comprimento de onda

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes dados diretamente da expressão da onda enviada).
  • A função de onda é y(x,t)=(6,5\\ \mathrm{mm})\cos 2\pi\!\left(\dfrac{x}{28\\ \mathrm{cm}}-\dfrac{t}{0,0360\\ \mathrm{s}}\right).
  • Informações extraídas da expressão:
    • Amplitude: A=6,5\\ \mathrm{mm}.
    • No argumento do cosseno aparece \dfrac{x}{28\\ \mathrm{cm}}-\dfrac{t}{0,0360\\ \mathrm{s}}.
  • O que o problema pede: determinar o comprimento de onda.

Passo 2

Entender a forma padrão de uma onda harmônica vai ajudar a identificar o comprimento de onda sem mistério.
  • Forma espacial/temporal padrão que usamos aqui: y(x,t)=A\cos\!2\pi\!\left(\dfrac{x}{\lambda}-\dfrac{t}{T}\right),onde:
    • A é a amplitude (altura máxima da oscilação).
    • \lambda é o comprimento de onda (distância entre dois pontos equivalentes em fase, por exemplo crista a crista).
    • T é o período (tempo que uma partícula do meio demora para completar uma oscilação).
  • Outra forma equivalente, muito usada, é y(x,t)=A\cos(kx-\omega t),com k=\dfrac{2\pi}{\lambda} (número de onda) e \omega=\dfrac{2\pi}{T} (frequência angular). Aqui o fator 2\pi já aparece no enunciado, então a comparação fica direta com a primeira forma que escrevi.

Passo 3

Comparar a expressão dada com a forma padrão para identificar \lambda.
  • Na expressão dada o argumento do cosseno é 2\pi\!\left(\dfrac{x}{28\\ \mathrm{cm}}-\dfrac{t}{0,0360\\ \mathrm{s}}\right).
  • Comparando com 2\pi\!\left(\dfrac{x}{\lambda}-\dfrac{t}{T}\right),vemos que os termos correspondentes implicam diretamente \dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{28\\ \mathrm{cm}} \quad\text{e}\quad \dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0,0360\\ \mathrm{s}}.Ou seja, o denominador que acompanha x na forma padrão é exatamente o comprimento de onda.

Passo 4

Converter unidades (se quiser trabalhar em SI) e interpretar o resultado.
  • A unidade dada para x no argumento era em \mathrm{cm}, então: 28\\ \mathrm{cm}=0,28\\ \mathrm{m}.
  • Portanto o comprimento de onda, em unidades usuais do SI, é \lambda=0,28\\ \mathrm{m}.
  • (Comentário prático: também se pode obter outras quantidades úteis a partir daqui, por exemplo o período dado é T=0,0360\\ \mathrm{s} e a velocidade de propagação seria v=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{0,28}{0,0360}\\ \mathrm{m/s}, mas isso é além do pedido.)

Resposta

\lambda=28\\ \mathrm{cm}=0,28\\ \mathrm{m}

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