Uma partícula de carga 2 C se move na presença de um campo magnético uniforme. Em dado instante, a velocidade da partícula é (2 \hat{i}+4 \hat{\jmath}+6 \hat{k}) \mathrm{m} / \mathrm{s} e a força magnética sobre a partícula é (4 \hat{i}-20 \hat{\jmath}+12 \hat{k}) \mathrm{N}. As componentes x e y do campo magnético são iguais. Qual é o campo \vec{B} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Carga da partícula: q=2\\ \mathrm{C}.
  • Velocidade da partícula no instante considerado: \vec{v} = 2\hat{\imath}+4\hat{\jmath}+6\hat{k}\\ \mathrm{m/s}.
  • Força magnética sobre a partícula: \vec{F} = 4\hat{\imath}-20\hat{\jmath}+12\hat{k}\\ \mathrm{N}.
  • Condição adicional: as componentes x e y do campo magnético são iguais, isto é, B_x=B_y.
O que o problema pede: determinar o vetor campo magnético \vec{B} que satisfaz essas condições.

Passo 2

Fórmula física que relaciona as grandezas fornecidas (essa é a ferramenta básica aqui):
\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B},
onde:
  • \vec{F} é a força magnética (em newtons),
  • q é a carga (em coulombs),
  • \vec{v} é a velocidade (em metros por segundo),
  • \vec{B} é o campo magnético (em tesla),
  • \times é o produto vetorial (ou cross product).
Explicação rápida do produto vetorial: para dois vetores \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z), o produto vetorial tem componentes
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_y b_z - a_z b_y\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(a_z b_x - a_x b_z\bigr)\,\hat{\jmath}+\bigl(a_x b_y - a_y b_x\bigr)\,\hat{k}.
Esse produto é perpendicular a \vec{a} e \vec{b} e suas componentes são somas/diferenças de produtos de componentes.

Passo 3

Isolando o produto vetorial na expressão da força:
\vec{v}\times\vec{B}=\frac{\vec{F}}{q}.
Calculo primeiro \dfrac{\vec{F}}{q} usando q=2\\ \mathrm{C}:
\frac{\vec{F}}{q}=\frac{1}{2}\bigl(4\hat{\imath}-20\hat{\jmath}+12\hat{k}\bigr)=2\hat{\imath}-10\hat{\jmath}+6\hat{k}.

Passo 4

Escrever \vec{B} usando a condição B_x=B_y. Seja
\vec{B}=b\,\hat{\imath}+b\,\hat{\jmath}+b_z\,\hat{k},
onde b é a componente comum x e y, e b_z é a componente z.
Agora calculamos \vec{v}\times\vec{B} com \vec{v}=(2,4,6) e \vec{B}=(b,b,b_z). Usando a fórmula do produto vetorial, as componentes são:
\begin{aligned} (\vec{v}\times\vec{B})_x &= v_y b_z - v_z b = 4\,b_z - 6\,b,\\[4pt] (\vec{v}\times\vec{B})_y &= v_z b - v_x b_z = 6\,b - 2\,b_z,\\[4pt] (\vec{v}\times\vec{B})_z &= v_x b - v_y b = 2\,b - 4\,b = -2\,b. \end{aligned}]

Passo 5

Impondo que \vec{v}\times\vec{B}=\dfrac{\vec{F}}{q}=2\hat{\imath}-10\hat{\jmath}+6\hat{k}, obtemos o sistema de equações:
\begin{aligned} 4\,b_z - 6\,b &= 2,\\[4pt] 6\,b - 2\,b_z &= -10,\\[4pt] -2\,b &= 6. \end{aligned}
Da terceira equação:
-2\,b=6 \quad\Rightarrow\quad b=-3.
Substituindo b=-3 na primeira equação para achar b_z:
4\,b_z - 6(-3)=2 \quad\Rightarrow\quad 4\,b_z +18=2 \quad\Rightarrow\quad 4\,b_z=-16 \quad\Rightarrow\quad b_z=-4.
(Verificação rápida usando a segunda equação: 6(-3)-2(-4)=-18+8=-10, consistente.)]

Passo 6

Portanto o campo magnético é
\vec{B} = -3\hat{\imath}-3\hat{\jmath}-4\hat{k}\\ \mathrm{T}.
Essa resposta satisfaz \vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B} com q=2\\ \mathrm{C} (pode-se verificar multiplicando \vec{v}\times\vec{B}=(2,-10,6) por q para obter \vec{F}=(4,-20,12)).

Resposta

\vec{B}=-3\hat{\imath}-3\hat{\jmath}-4\hat{k}\\ \mathrm{T}

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